Victor Cabanillas Zanini - Matemática aplicada a los negocios

4. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

5. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

1.8. Modelos matemáticos

En esta sección, usaremos el lenguaje de las funciones para estudiar y describir situaciones reales. En tal sentido, llamaremos modelo matemático a una función que describe una situación dada. Una función que describe el costo de un producto en función del tiempo transcurrido desde su lanzamiento al mercado, una función que expresa la oferta de un producto como función de su precio unitario de venta, una función que nos permite estimar el tamaño de una población en función del tiempo transcurrido desde el inicio de la observación son ejemplos de modelos matemáticos.

Ejemplo 1.11

Un agricultor desea cercar un terreno rectangular con 1000 metros de cerca. Si el lado mayor del terreno se ubica a lo largo de un arroyo (y no requiere cerca), exprese el área del terreno como una función de su ancho. ¿Cuál es el dominio de esta función? Grafique la función.

Solución

El enunciado del problema nos pide expresar el área del terreno como una función de su ancho. Es decir, el ancho será nuestra variable. Denotemos por x el ancho del terreno, y por A ( x ) su área. Ya que la longitud total de la cerca es de 1000 metros y uno de los lados no lleva cerca, entonces la longitud del lado mayor del terreno será de (1000 – 2 x ) metros, tal como se muestra en la figura.

Figura 1.29

Luego, la función área viene dada por:

Se trata de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola con vértice (250; 125000). Luego, su gráfica es la que se muestra en la figura 1.30.

Figura 1.30

De la gráfica, notamos que el dominio de la función área es el intervalo 〈0; 500〉. Note que el intervalo es de extremos abiertos, pues x no puede ser 0 ni 500 (pues tendríamos un rectángulo de lado nulo).

Ejemplo 1.12

Si a una pieza rectangular de cartón de 18 cm de largo y 12 cm de ancho se le quita un pequeño cuadrado de cada esquina y se pliegan las alas para formar los lados, se construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante en función de la longitud x de un lado de los cuadrados eliminados. ¿Cuál es el dominio de esta función?

Solución

La siguiente figura muestra la situación descrita por el problema:

Figura 1.31

Si denotamos por V ( x ) la función volumen de la caja, entonces:

Como x , 12 – 2 x , 18 – 2 x denotan las medidas de la caja; estas deben ser positivas; es decir,

Entonces,

Figura 1.32

Por lo tanto, el dominio de V es el intervalo 〈0; 6〉.

Ejemplo 1.13

Un agricultor estima que si se plantan 60 naranjos en un determinado terreno, cada árbol producirá, en promedio, 400 naranjas. La producción media disminuirá en cuatro naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. Exprese la producción total del agricultor como una función de la cantidad adicional de árboles plantados y calcule la cantidad total de árboles que debería plantar para que la producción sea máxima. Grafique y halle el dominio de la función producción.

Solución

La siguiente tabla expresa la situación descrita en el problema:

Si P ( x ) denota la función producción, entonces:

La gráfica de P se muestra en la figura 1.33.

Figura 1.33

Notemos que solo hemos graficado para x ≥ 0, puesto que x representa el número adicional de árboles plantados. Además, el punto de intersección del gráfico de P con el eje X es x = 100, que se obtiene igualando la función P a cero. Por lo tanto, el dominio de P es el intervalo [0; 100]. Del gráfico, notamos que la producción máxima se alcanzará al plantar un total de 80 naranjos.

Ejemplo 1.14

La base de una caja rectangular cerrada es tal que su largo L es el triple de su ancho. La caja tiene un volumen de 25 m 3. Si el material de las partes superior e inferior de la caja cuesta 4 dólares por m 2y el de los lados, 3 dólares por m 2, exprese el costo de construcción en función de L y halle su dominio.

Solución

Si h representa la altura de la caja, entonces sus dimensiones son metros, tal como indica la siguiente figura: