Victor Cabanillas Zanini - Matemática aplicada a los negocios

Pero x 2+ 4 es siempre positivo, independientemente del valor que asuma x . Por lo tanto, si el numerador de la expresión anterior es positivo, su denominador deberá ser positivo para que el cociente exista y sea no negativo. Luego, debemos tener 1 – x > 0, es decir x < 1.

Por lo tanto,

Propiedades del valor absoluto Desigualdad Forma equivalente

Ejercicio 1.3

Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

a) Los elementos x en el dominio de deben satisfacer la condición 2 | x | – 1 > 0. Es decir, | x | > . Por lo tanto, el dominio de f es:

b) Los elementos del dominio de deben satisfacer:

Es decir,

Así, los puntos críticos en el numerador son – 1 y 2. Los puntos críticos en el denominador son – 1 y 1. Es decir, el punto crítico – 1 se repite dos veces. Usando el método de puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.18

Por lo tanto, el dominio de la función f es:

Ejercicio 1.4

Grafique las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

Veamos:

a) La función f ( x ) = x 2– 6 x + 10 es cuadrática y su gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, pues el coeficiente de x 2es positivo. Su vértice es:

Ya que nos piden graficar para 1 < x ≤ 5, su gráfico será:

Figura 1.19

b) Hallemos el dominio de la función Por definición de la raíz cuadrada, debemos considerar que 4 – x ≥ 0; es decir, x ≤ 4. Así, el dominio de f es el intervalo 〈–∞; 4].

Luego, su gráfico es:

Figura 1.20

Ejercicio 1.5

Grafique las siguientes funciones:

a) f ( x ) = 2 | x | + 3

b) f ( x ) = 2 x – | x |

Solución

Veamos:

a) Para graficar la función f ( x ) = 2 | x | + 3, aplicaremos la definición de valor absoluto para hallar la regla de correspondencia de f :

Así, vemos que la gráfica de f representada en la figura 1.21está compuesta de dos semirrectas.

Figura 1.21

b) Al igual que con la función anterior, aplicamos la definición de valor absoluto para obtener la regla de correspondencia de f .

Entonces, la gráfica de f es:

Figura 1.22

1.5. Funciones definidas por tramos

Diremos que una función está definida por tramos si es posible descomponer su dominio como unión de conjuntos disjuntos, sobre cada uno de los cuales la función tiene una regla de correspondencia distinta. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.9

La función:

es una función definida por tramos, pues su dominio 〈 – 3; 5] se puede expresar como la siguiente unión de intervalos disjuntos 〈 – 3; 0] ∪ 〈 0; 5] y sobre cada uno de estos intervalos, la función tiene distintas reglas de correspondencia.

Ejemplo 1.10

La función valor absoluto:

también es un ejemplo de función definida por tramos.

Observación 1.5

El dominio de una función definida por tramos es la unión de los dominios de las funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de la función: