Victor Cabanillas Zanini - Matemática aplicada a los negocios

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto quiere decir que, dependiendo del signo de la pendiente m , varía la inclinación de la recta y = mx + b .

Figura 1.10

Ejemplo 1.4

La figura 1.11muestra las rectas L 1y L 2, la primera con pendiente m = 2 y la segunda con pendiente m = –1. Estas rectas son las gráficas de las funciones f ( x ) = 2 x + 4 y g ( x ) = – x + 7.

Figura 1.11

1.2.3 Función cuadrática

Definimos la función cuadrática por:

Donde a , b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.

Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a .

Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:

El gráfico 1.12 resume lo anterior:

Figura 1.12

Ejemplo 1.5

Considere la función cuadrática f ( x ) = 3 x 2– 6 x + 3. Si comparamos esta función con la forma general f ( x ) = ax 2+ bx + c , notamos que a = 3, b = – 6 y c = 3. Halle el vértice de la parábola (gráfico de f ):

Luego, el vértice es el punto (1; 0). Además, como a = 3 > 0, resulta que la gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.

La gráfica de la función f es:

Figura 1.13

1.2.4 Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada se define como:

Observación 1.1

Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.

Observación 1.2

También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:

Como son números reales no negativos, su gráfico se encuentra en el primer cuadrante y es dado por:

Figura 1.14

1.2.5 Función valor absoluto

La función valor absoluto se define como:

Recordemos que el valor absoluto de un número real se define como:

La gráfica de esta función es:

Figura 1.15

1.3. Operaciones con funciones

En esta sección encontraremos el dominio de ciertas funciones combinadas. Llamamos funciones combinadas a aquellas que se definen como suma, diferencia, producto, cociente o composición de las funciones elementales que revisamos en la sección anterior.

Antes de comenzar con los ejemplos, vale la pena hacer algunas observaciones.

Observación 1.3

Dadas las funciones f y g , las funciones suma f + g , diferencia f – g y producto f g se definen como:

Por lo tanto, estas funciones estarán definidas en aquellos puntos x en los que ambas funciones estén definidas. Es decir, el dominio de f + g , f – g y f g se obtiene como la intersección de los dominios de las funciones f y g .

Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1.6

Considere las funciones:

Sabemos que Dom ( g ) = y Dom ( h ) = [0; +∞〉. Si definimos la función:

vemos que esta es la suma de g y h . Luego, su dominio será:

Ejemplo 1.7

Ahora, considere la función:

Notemos que f está definida como la suma de las funciones: