Victor Cabanillas Zanini - Matemática aplicada a los negocios

Matemática aplicada a los negocios es un libro de texto que sigue la estructura curricular del curso del mismo nombre que se dicta cada ciclo a los estudiantes que seguirán las carreras de Administración, Contabilidad, Economía, Marketing y Negocios Internacionales en la Universidad de Lima, se adecua a las necesidades académicas de los estudiantes de estas carreras en otras instituciones.

Presenta, de manera práctica y directa, los conceptos y técnicas del cálculo diferencial e integral en una variable real, aplicados a situaciones en las que el estudiante debe tratar con funciones de producción, oferta, demanda, precio, costo, ingreso y utilidad, entre otras. También pone énfasis en el modelaje matemático; es decir, en ejercitar al estudiante en la transformación de un problema real al lenguaje matemático. El análisis del comportamiento cualitativo de los modelos matemáticos, así como la interpretación de los resultados, son los principales objetivos del texto.

Esta obra ha sido organizada en siete capítulos. En cada uno de ellos, el lector encontrará la teoría del tema, así como una buena cantidad de ejercicios y problemas resueltos, en los que se muestran las estrategias y la manera de abordar un problema aplicado a los negocios, así como la interpretación de los resultados obtenidos. Al finalizar cada sección, encontrará un conjunto de ejercicios y problemas que le permitirán reforzar y afianzar lo estudiado. Además, el lector podrá comprobar si los resultados obtenidos son correctos al revisar las páginas finales del libro, en las que han sido incluidas todas las respuestas.

En el capítulo 1 se revisan las funciones elementales y se estudia el dominio, rango y gráficos de funciones que se construyen a partir de estas. En la parte final de este capítulo estudiamos los modelos matemáticos que estarán presentes a lo largo de todo el texto. En el capítulo 2 se inicia el estudio del cálculo diferencial aplicado a los negocios. Se trata la idea del límite de una función y se calculan límites laterales, límites infinitos y al infinito, así como sus respectivas interpretaciones geométricas, lo que permite determinar sus asíntotas y estudiar el comportamiento a largo plazo de varias funciones. Este segundo capítulo concluye con el estudio de las funciones continuas. El capítulo 3 está dedicado al estudio de la derivada, su origen e interpretación geométrica, así como las reglas de derivación, la regla de la cadena, la derivación implícita y las derivadas de orden superior. En el capítulo 4 se presenta un conjunto de aplicaciones de la derivada, iniciando con la interpretación de la derivada como razón de cambio, y a través de problemas contextualizados se muestra la derivada como una herramienta matemática que permite hacer pronósticos acerca del comportamiento futuro de funciones, como el precio, la oferta, la demanda, la producción, etcétera. Las funciones costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, también aparecen de manera natural como una forma de interpretar la derivada de las funciones costo, ingreso y utilidad para incrementos unitarios del número de unidades producidas o vendidas. Para incrementos no unitarios se estudia el diferencial de una función y se utiliza para aproximar la variación de funciones como costo, ingreso, utilidad, producción, precio, entre otras. En este capítulo también se muestra cómo utilizar la derivada para calcular, de manera más ágil y simple, los límites de formas indeterminadas, mediante la regla de L’Hôpital. El estudio del signo de la primera y segunda derivada de una función permite, como se muestra en este capítulo, estudiar su comportamiento mediante los criterios de la primera y segunda derivada. El cuarto capítulo termina aplicando estos criterios a la solución de problemas de optimización.

Las funciones estudiadas en los cuatro primeros capítulos son polinómicas, racionales, irracionales y combinaciones de estas. Las funciones trascendentes y sus derivadas se estudian en el capítulo 6. Como veremos, las funciones exponencial y logarítmica son muy utilizadas para describir el comportamiento del precio de un producto a través de sus funciones de oferta y demanda. Estas funciones también aparecen en la descripción del número de contagiados en una población ante una epidemia, por ejemplo. Por otra parte, fenómenos periódicos, es decir, aquellos que se repiten cada cierto intervalo de tiempo, como las temperaturas o el consumo de electricidad, se describen mediante funciones trigonométricas. En este capítulo se estudian problemas en los que nos encontramos nuevamente con la razón de cambio, el análisis marginal o los diferenciales, pero para situaciones descritas por funciones trascendentes.

En el capítulo 6 se inicia el estudio del cálculo integral aplicado a los negocios. Se estudia el proceso inverso de la derivación. Si antes, al derivar una función podíamos conocer su razón de cambio, ahora, conociendo la razón de cambio de una función, y una condición inicial, aprenderemos a descubrir cuál es esa función. Ese proceso se denomina integración. En este capítulo se estudia la integral indefinida de una función y los métodos de integración por sustitución y por partes, así como algunas técnicas para integrar funciones que contienen expresiones cuadráticas y otras que deben ser descompuestas en fracciones parciales.

En el capítulo 7 se estudia la integral definida y varias de sus aplicaciones, como el cálculo del área de una región plana, lo que permite introducir la integral definida en el cálculo del excedente de los productores y de los consumidores. También se utiliza la integral definida en el estudio de la convergencia o divergencia de integrales impropias, así como para calcular el valor acumulado y el valor promedio de una función.

Los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento a todos los docentes que en los últimos años dictaron el curso de Matemática Aplicada a los Negocios y que con sus propuestas y sugerencias contribuyeron al desarrollo de este texto, así como también por la revisión de las respuestas a todos los ejercicios y problemas propuestos. Asimismo, agradecemos al profesor Benito Comeca por su dedicado trabajo de digitación y diagramación.

Finalmente, queremos agradecer al Programa de Estudios Generales y al Fondo Editorial de la Universidad de Lima por su incentivo y dedicación en la publicación de este libro.

Los autores

Capítulo 1

Funciones elementales y modelos matemáticos

Situaciones de la vida real como el tamaño de una población, el precio de un producto y su evolución en el tiempo, la utilidad o los ingresos que genera la venta de un artículo pueden describirse con lenguaje matemático y modelarse con funciones. En este capítulo haremos una revisión de las funciones elementales, sus operaciones, y estudiaremos su utilidad en el modelamiento de situaciones ligadas a los negocios.

Conocimientos previos

Álgebra elemental; inecuaciones; dominio y rango de una función; operaciones con funciones.

Secciones

✓ Funciones elementales

✓ Operaciones con funciones

✓ Funciones definidas por tramos

✓ Modelos matemáticos

Sabes

Capacidades adquiridas:

✓ Resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas.

✓ Plantear ecuaciones.

✓ Efectuar operaciones con funciones.

✓ Determinar el dominio y rango de funciones elementales.

✓ Graficar funciones.

Piensas

Competencias por lograr:

✓ Graficar funciones definidas por tramos, así como funciones que son resultado de operaciones entre funciones elementales.

✓ Formular modelos matemáticos mediante funciones para situaciones en el campo de los negocios.