Victor Cabanillas Zanini - Matemática aplicada a los negocios

Veamos cuál es el dominio de f . Para que las funciones g y h existan, debemos exigir que:

Es decir,

Entonces,

Como f = g + h , entonces:

Observación 1.4

Dadas las funciones f y g , la función cociente se define como:

Por lo tanto, esta función está definida en aquellos puntos x en los que ambas funciones f y g están definidas y además g ( x ) ≠ 0.

Ejemplo 1.8

Considere la función:

Notemos que h es el cociente de las funciones f ( x ) = x 2+ 3 x + 1 y g ( x ) = x 2– 9. Ya que f y g son funciones cuadráticas, sus dominios son iguales a . Luego, solo debemos preocuparnos de que la función g del denominador sea distinta de cero. Por lo tanto:

1.4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Para hallar el dominio de cada una de estas funciones, aplicaremos algunas propiedades y definiciones que se estudiaron en el curso Matemática Básica.

a) Siendo el dominio de las funciones del numerador y denominador de f , basta exigir que el denominador sea distinto de cero. Pero:

Por lo tanto,

b) Notemos que la función

contiene una raíz cúbica en el numerador y que la raíz cúbica, así como cualquier raíz impar, está definida para cualquier número real, por lo que no hay ninguna restricción en el numerador de f .

En el denominador, debemos exigir que x 3– x 2– 2 x ≠ 0.

Factorizando, tenemos:

Es decir, x ≠ 0, x ≠ –1 y x ≠ 2. Por lo tanto:

Ejercicio 1.2

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Veamos:

a) Para que la función esté definida, debemos exigir que 9 – x 2≥ 0. Cambiando de signo, podemos escribir x 2– 9 ≤ 0. Es decir,

Aplicando el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.16

Luego, Dom ( f ) = [– 3; 3]

b) La función está compuesta por una raíz cuadrada y un polinomio en el denominador que no puede anularse.

Entonces,

O lo que es lo mismo:

Si resolvemos la inecuación anterior por el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.17

Por lo tanto,

Note que no fue necesario extraer el punto – 4 del dominio, pues este no pertenece a ninguno de los intervalos componentes.

c) En la función , hay dos sumandos. La única exigencia sobre el primer sumando es que x ≠ 0. En cuanto al segundo sumando, debemos exigir que: