Juan Egoavil Vera - Fundamentos de matemática

• La división entre cero.

• La extracción de raíces de índice par de números negativos.

Propiedades Básicas

Potenciación

Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que a n se obtiene multiplicando n veces el factor a , es decir:

Ejemplo:

a 6= a . a . a . a . a . a . a

Decimos entonces que a n es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;

Actividad 1.4:

Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a. 2 8= 2 2. 2 6= 2 5. 2 3

( )

b. (8+3) 2= 8 2+ 3 2

( )

c. (8.3) 2= 8 2+ 3 2

( )

d. (2 3) 2= 3 5

( )

e. (2 3) 2= 2 6

( )

f. – 3 2= (–3) 6

( )

g. 5 4= 4 5

( )

h.

( )

i. 5 –2= –10

( )

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a , b números reales distintos de 0 y sean m , n números enteros.

Propiedades de la Potencia
Distributiva con respecto al producto	( a · b ) m= a m· b m
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base	a n a m = a n + m
División de potencias de igual base
Potencia de potencia	( a n) m= a n.m

Observación:

Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

Radicación

Para los enteros positivos n , ya se ha definido la n -ésima potencia de b , a saber, b n . Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = b npara definir la n –ésima raíz de a .

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a

Si a es un número real positivo , si y solo si a = b 2y b > 0

Además,

Ejemplo:

Actividad 1.5:

Calcule el valor de cada una de las expresiones que siguen, en caso de estar definidas:

a.

b.

c.

En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:

2 3= 8 y (–5) 3= –125

Se puede decir entonces que:

Si a y b son números reales cualesquiera , si y solo si a = b 3

Ejemplos:

Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.

Observaciones:

• recibe el nombre de n -ésima raíz principal de a para indicar que se define positivo si a > 0.

• El número a es el radicando, es el signo radical, n es el índice del radical y es la expresión radical o raíz n –ésima de a –

Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

Sean a , b números reales positivos y n , m números naturales:

Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
Raíz de raíz

Actividad 1.6:

• Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Proponga ejemplos que muestren que la propiedad distributiva no se cumple.

• ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical: