Juan Egoavil Vera - Fundamentos de matemática

Algunas de las habilidades que se adquieren a través de su estudio son:

• La capacidad para identificar y analizar patrones.

• Capacidad de pensamiento lógico y reflexivo.

• Pericia para visualizar relaciones.

• Capacidad para resolver problemas.

El libro está dividido en tres unidades: la primera llamada Fundamentos de Aritmética, ofrece un conjunto de temas importantes (conjuntos numéricos, números racionales, razones y proporciones, magnitudes proporcionales, reparto proporcional, regla de tres simple y compuesta y porcentajes) que el estudiante debe conocer al detalle, pues si bien es cierto dichos temas han sido tratados en el nivel escolar, requieren ser repasados y profundizados.

En la segunda unidad, nos ocupamos de los Fundamentos del Álgebra. En este caso, desarrollamos detallada, clara y profundamente temas en los cuales los estudiantes siempre tienen dificultad (teoría de exponentes y radicales, ecuaciones exponenciales y logarítmicas, expresiones algebraicas, productos notables, racionalización, ecuaciones de primer grado, sistema de ecuaciones lineales, factorización, ecuaciones de segundo grado, expresiones racionales, ecuaciones racionales, ecuaciones irracionales, ecuaciones polinómicas, desigualdades, intervalos e inecuaciones) ya que la experiencia adquirida me dice que los estudiantes tienen mucha dificultad al desarrollar ejercicios.

En la tercera y última unidad se desarrollan los Fundamentos de Geometría y Trigonometría. En esta parte se abordan temas básicos como son: segmento de recta, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos, circunferencia y círculo, sistema de medidas angulares, razones trigonométricas, introducción a la geometría analítica, ecuación de la recta, ecuación de la circunferencia, ecuación de la parábola, perímetro y áreas de figuras planas y áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Dichos temas forman parte importante dentro de la formación de los estudiantes y los alumnos deben conocerlos más aún quienes están a un paso de la vida universitaria.

Mg. Juan Egoavil Vera

Unidad 1

Fundamentos de Aritmética

Los conjuntos numéricos a lo largo de la historia

Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, este fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos.

En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10).

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban «hijo» al numerador, y «madre» al denominador.

La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que solo con los números naturales y las fracciones no podían realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón «alogos» o irracional. Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor. Empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de números negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge un nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Solo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de –1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número «ordinario» (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.

Extracto tomado de ECURED (2014) Conjuntos numéricos (consulta: 20 de enero) ( http://www.ecured.cu/index.php/Conjuntos_num%C3%A9ricos)

Objetivos

• Definir los conjuntos numéricos.

• Distinguir las diferencias que existen entre un número racional e irracional, o entre un número real y complejo.

Introducción

Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo y recibe el nombre de numeral.

A lo largo de la historia, cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa el de numeración romana, que se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar cantidades:

I: uno

V: cinco

X: diez

L: cincuenta C: cien

D: quinientos M: mil

Actualmente, el sistema universalmente aceptado (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez 10, por lo que se compone de las cifras cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas cada una relacionada con la otra y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones.

Gráfico 1.1 Tipos de conjuntos numéricos

1. Números naturales

DEFINICIÓN:son los que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacío.

SIMBÓLICAMENTE:N = {1; 2; 3; …; n ; n + 1}

Están ordenados en forma creciente, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

Actividad 1.1:

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

2. Números enteros

Para solucionar el problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se agrega el número cero y los números opuestos a los naturales.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4).

DEFINICIÓN:el conjunto de los Números Enteros está formado por la unión de los Naturales, el cero y los opuestos de los Números Naturales.