Matthias Krauß - Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau

(2.5)

ersetzt werden. Sie korrespondiert zu , so dass zu dem Hauptdiagonalelement in der 8. Zeile der Wert von C w3hinzu zu addieren ist.

Der Vektor enthält die 15 Verschiebungsgrößen in den fünf Knoten, die in Bild 2.1ddargestellt sind. Im Gesamtlastvektor sind die Lastgrößen und die Auflagerreaktionen zusammengestellt. Dabei beziehen sich die Vorzeichen, wie bereits er-wähnt, auf das globale X-Z-KOS in Bild 2.1b.

Zur Lösung des Gleichungssystem in Bild 2.5müssen die geometrischen Randbedingungen, d. h. die fünf Auflagerbedingungen, berücksichtigt werden. Wegen entfallen die Spalten 1 bis 3 sowie 13 und 14. Dies gilt auch für die entsprechenden Zeilen, da sie zu und gehören und zudem der Lastvektor an diesen Stellen die unbekannten Auflagerreaktionen enthält. In Bild 2.5ist das Streichen der Spalten und Zeilen durch die horizontalen und vertikalen Pfeilpaare auf der Hauptdiagonalen anschaulich dargestellt. Es verbleibt ein 10×10-Gleichungssystem, das gemäß Abschnitt 3.6gelöst werden kann. Als Ergebnis erhält man die zehn vorher unbekannten Verformungsgrößen im Vektor .

Die Berechnung der Auflagerreaktionen ist aus Bild 2.5unmittelbar ersichtlich, da die Zeilen 1 bis 3 sowie 13 und 14 diese Größen enthalten und nun alle Verformungsgrößen im Vektor bekannt sind. Die Ermittlung der Schnittgrößen ist dagegen etwas aufwändiger, da dabei die einzelnen Stabelemente mit ihren lokalen x-z-KOS zu betrachten sind. Die Berechnung erfolgt mithilfe von Gl. (2.2), wobei jedoch die lokalen Verschiebungsgrößen im Vektor für jedes Stabelement ermittelt werden müssen. Dazu wird der Vektor des Systems verwendet, die benötigten Größen den Elementknoten zugeordnet und in das lokale KOS transformiert. Einzelheiten können Abschnitt 3.7entnommen werden.

Die Vorgehensweise bei der FEM unter Verwendung des Weggrößenverfahrens ist für die lineare Theorie in Tabelle 2.1zusammengestellt. Es spielt dabei keine Rolle, ob es sich um Stab-, Scheiben-, Platten- oder Schalenelemente handelt, mit denen das baustatische System diskretisiert wird. Unabhängig von den verwendeten Elementtypen ergibt sich stets der gleiche Ablauf für die Berechnungen, so dass mit ein und derselben Methodik zahlreiche Aufgabenstellungen gelöst werden können. Ein weiterer Vorteil ist die stark schematische Vorgehensweise, die keine individuellen Entscheidungen erfordert, da lediglich geeignete finite Elemente und eine sinnvolle Elementierung gewählt werden müssen.

In Tabelle 2.1wird davon ausgegangen, dass unter Punkt 2 alleElementsteifigkeitsmatrizen berechnet und abgespeichert werden, da sie unter Punkt 9 erneut zur Schnittgrößenermittlung benötigt werden, und dass sie erst unter Punkt 4 nach Abschluss von Punkt 2 eingeordnet werden. Diese Darstellungsweise ist für das Verständnis vorteilhaft, entspricht aber nicht dem üblichen Vorgehen. In der Regel werden die einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen berechnet und unmittelbar ohne Speicherung in die Gesamtsteifigkeit eingeordnet. Für die Schnittgrößenermittlung gemäß Punkt 9 werden sie dann erneutberechnet. Der hier beschriebene Ablauf für die Elementsteifigkeitsmatrizen wird in analoger Weise auch bei den elementbezogenen Lastgrößen verwendet, s. Punkte 3, 5 und 9.

Tabelle 2.1 Vorgehensweise beim Weggrößenverfahren (lineare Theorie)

Nr.	Tätigkeit	Einzelheiten
1	Baustatisches System in Elemente aufteilen	Bild 2.1b
2	Für jedes Element:Elementsteifigkeitsmatrix berechnen	Abschn. 3.2
3	Für jedes Element:Belastungen, die innerhalb der Elemente wirken, in äquivalente Knotenlasten umrechnen (Elementlastvektor)	Abschn. 3.2
4	Elementsteifigkeitsmatrizen transformieren und in die Gesamtsteifigkeitsmatrix einordnen	Abschn. 3.4, Bild 2.4 Abschn. 3.5.2, Bild 2.5
5	In den Knoten angreifende Lastgrößen und Knotenlasten gemäß Punkt 3 in den Gesamtlastvektor des Systems einordnen	Abschn. 3.5.3, Bild 2.5
6	Gegebenenfalls Federn, Schubfelder und Gelenke berücksichtigen	Abschn. 3.10, 3.11, Bild 2.5
7	Geometrische Randbedingungen (Auflager, Einspannungen, usw.) in der Gesamtsteifigkeitsmatrix und im Gesamtlastvektor berücksichtigen	Abschn. 3.5.4
8	Als Ergebnis der Punkte 4 bis 7 ergibt sich das Gleichungssystem: Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die Verformungen des Systems in den Knoten.	Abschn. 3.6 Kapitel 8
9	Für jedes Element: Berechnung der Schnittgrößen in den Knoten mit den Elementsteifigkeitsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen gemäß Pkt. 2 und Lastvektoren gemäß Pkt. 3) und den nunmehr bekannten Knotenverformungen (s. Pkt. 8)	Abschn. 3.7
10	Für jedes Element: Gegebenenfalls Berechnung der Schnittgrößen im Elementinneren mithilfe der Formfunktionen	Abschn. 3.7

Für Berechnungen nach Theorie II. Ordnungwird ebenfalls gemäß Tabelle 2.1vorgegangen und das System zunächst nach Theorie I. Ordnung analysiert (1. Durchlauf). Anschließend wird nochmals bei Punkt 2 begonnenund es werden nun zusätzlich geometrische Elementsteifigkeitsmatrizenberechnet, für die die Schnittgrößen aus Punkt 9 der 1. Berechnung, also nach Theorie I. Ordnung, benötigt werden. In diesem 2. Durchlauf wird unter Punkt 4 zusätzlich eine geometrische Gesamtsteifigkeitsmatrix erzeugt, so dass die Matrix des Gleichungssystems gemäß Punkt 8 nun aus zwei Matrizen

(2.6)

besteht. Die Matrix gehört zur linearen Theorie und repräsentiert die Steifigkeit des Systems. enthält die Zusatzanteile für Theorie II. Ordnung. Auf die Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischer Ersatzimperfektionen wird in Abschnitt 4.7und auf die Berechnung der Schnittgrößen in Abschnitt 4.8ausführlich eingegangen.