Gonzalo Masjuán Torres - Álgebra clásica

a < b → an < bn .

Parte (2)

Supongamos ahora que an < bn , entonces como a, b ∈ +, se tiene que:

a < b ∨ a = b ∨ a > b,

ahora bien, si a = b , entonces an = bn lo que contradice que an < bn .

Si b < a , entonces, por la primera parte resulta bn < an , lo que también contradice que an < bn .

Se concluye entonces que a < b .

Problema 1.3.22 Si an + 1= y 0 < a 1< 3, demostrar que:

a 1< a 3< a 5< ··· , a 2> a 4> a 6> ···

Solución:

(1) Tenemos que:

además, resulta que:

Supongamos a 2n−1< 3, con ello:

además, resulta que:

(2) Ahora:

Supongamos a 1< a 3< a 5< ··· < a 2n−1, así:

En conclusión, tenemos que:

a 1< a 3< a 5< ··· < a 2n−1< a 2n + 1< ···

(3) Por otra parte, se deduce que:

Para el resto del problema, se procede por analogía.

1.4 Problemas propuestos

Demostrar, utilizando inducción, los siguientes problemas:

(1) 1 + 2 + 4 + ··· + 2 n−1= 2 n − 1

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) Sea a 1= 7, a 2= 17, an = 5 a n−1− 6 a n−2para n ≥ 3, entonces: ∀ n ∈ : an = 2 n + 1+ 3 n

(7)

(8)

(9)

(10)

(16) Demostrar que ∀ n ∈ : n ( n + 1)( n + 2). ··· .( n + p − 1) es divisible por p.

(17) Demostrar que ∀ n ∈ a − b es factor de a 2n− b 2n.

(18) Demostrar que ∀ n ∈ a + b es factor de a 2n−1+ b 2n−1.

(19) Demostrar que ∀ n ∈ : 5 n 3+ 7 n es divisible por 6.

(20) Demostrar que ∀ n ∈ : 2 4n− 1 es divisible por15.

(21) Demostrar que ∀ n ∈ : 2 2n + 1− 9 n 2+ 3 n− 2 es divisible por 54.

(22) Demostrar que ∀ n ∈ : 7 2n− 48 n − 1 es divisible por 2304.

(23) Demostrar que ∀ n ∈ : 5 2(n + 1)− 24 n− 25 es divisible por 576.

(24) Demostrar que ∀ n ∈ : n 3+ 2 n es divisible por 3.

(25) Demostrar que ∀ n ∈ : Si h > −1, entonces (1 + h ) n≥ 1 + nh .

(26) Demostrar que ∀ n ∈ : 10 n+ 3 · 4 n + 2+ 5 es divisible por 9.