Gonzalo Masjuán - Trigonometría y geometría analítica

TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

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TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICAGonzalo Masjuán T., Fernando Arenas D. y Felipe Villanueva M.

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Junio 2017

ISBN edición impresa Nº 956-14-0870-8

ISBN edición digital Nº 978-956-14-2598-9

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CIP-Pontificia Universidad Católica de Chile

Trigonometría y geometría analítica / Gonzalo Masjuan Torres, Fernando Arenas Daza, Felipe Villanueva Mansilla, 2a ed.

1. Trigonometría. 2. Geometría Analítica.

I. Arenas Daza, Fernando.

II. Villanueva Mansilla, Felipe.

2006 516.24 dc.21 RCA2

Prólogo

Esta obra se inserta en el esfuerzo común de tres académicos de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile para renovar tanto la enseñanza como el interés que posee el educando en el cultivo de la Matemática.

La concepción pedagógica que han tenido los autores cuenta, entre otros, con los siguientes objetivos:

• Unir, en lo posible, la corrección científica con el realismo que proporciona la experiencia adquirida al recibir alumnos que han cursado su enseñanza media en centros de estudio de diversos niveles.

• Presentar una Matemática esencialmente formativa, pensada desde la perspectiva del educador.

• Ofrecer una Matemática realista en la medida en que se relacione con las necesidades tanto de la vida común como con los requerimientos que precisan los alumnos de pregrado.

• Entregar también una Matemática utilitaria que pretende capacitar al alumno para resolver problemas que se le irán planteando a lo largo del desarrollo.

• Tomar en cuenta también a los estudiantes mejor capacitados, puesto que en los ejercicios planteados hay problemas que suponen un mayor grado de dificultad y, en ocasiones, un reto a la inteligencia del educando.

• Presentar una Matemática abierta a la relación con las restantes áreas del conocimiento, lo que permite una globalización realista.

Desde el punto de vista de la proyección metodológica algunos de los rasgos más destacados en este proceso serían:

• La cuidadosa graduación en la presentación de los conceptos, evitando repeticiones y saltos.

• El carácter eminentemente activo. El alumno no puede limitarse a leer, ya que continuamente se requiere una colaboración, por ejemplo, completando ejercicios.

• Presentación de los contenidos de una manera que no será demasiado formalizada.

Este volumen tiene como finalidad tratar, en función de las posibilidades, el contenido de una asignatura inicial que podría llamarse Trigonometría plana y geometría analítica en dos y tres dimensiones. Los autores estiman que desarrollar una adecuada imaginación geométrica es una cualidad indispensable y útil para diversos especialistas y, consecuentemente con ello, muy diversas carreras cuentan en su currículum con cursos que incluyen estas materias, como ser los ciclos básicos de Matemática y Física, el programa de bachillerato en ciencias y las escuelas de ingeniería, construcción civil, arquitectura y pedagogía básica.

Este libro se ha basado en los distintos apuntes, guías y libros de los mismos autores y que se han utilizado durante muchos años en los cursos que la Facultad imparte a distintas carreras de la Universidad, principalmente a la Escuela de Ingeniería.

Este es un texto que incluye muchas materias elementales de Matemática y, por lo tanto, no está estructurado como un libro tradicional de Matemáticas con demostraciones rigurosas, más bien, es un resumen de materias relativas a cada capítulo. Por lo anterior es que se pide al estudiante que recurra a los otros textos, de los autores, y que están editados por la Facultad de Matemáticas, que son más extensos y rigurosos. También se hace énfasis en una buena base geométrica de Geometría Euclideana y, es por eso, que se recomienda leer el libro de Geometría Elemental de los mismos autores y que ha editado Ediciones Universidad Católica de Chile.

En este texto los capítulos uno, dos, tres y cuatro son del tipo estándar en cualquier curso de Trigonometría, aunque en el tercero se presentan algunas ideas novedosas. El capítulo cinco es una introducción a los vectores geométricos. El capítulo seis es una aplicación de los números complejos a la Geometría. El capítulo siete es la introducción a la geometría analítica en ejes oblicuos. El capítulo ocho es una introducción a los espacios euclideanos (producto punto) y al producto vectorial con sus propiedades. El capítulo nueve hace referencia las transformaciones puntuales en dos y tres dimensiones. Los capítulos diez, once, doce y trece hacen ver la geometría analítica métrica plana y espacial llegándose hasta las superficies.

Se insiste en que el estudiante necesita un buen nivel de razonamiento y habilidad algebraica. Cada capítulo contiene un buen número de ejercicios resueltos para que el estudiante aprenda métodos de resolución y para que también vaya madurando el proceso de aplicación de los conocimentos que va adquiriendo a medida que avanza. En cada capítulo el lector encontrará problemas propuestos y al final de éstos podrá ubicar sus respuestas.

El nivel de dificultad de los problemas propuestos es gradual, llegándose a ejercicios bastante difíciles para el estudiante; esto lo advertimos para que quien trate de resolverlos en su totalidad no se desanime en el caso de no obtener resultados inmediatos para alguno o algunos. La ejercitación en Matemática es muy importante y la dificultad no puede ser, en general, sencilla. Por tal motivo, en los problemas resueltos presentados se ha pretendido que el alumno pueda visualizar la idea central usada en la resolución y, a su vez, aplicarla en los ejercicios propuestos.

En todo texto que se publica hay errores. Los autores piden ser disculpados por los de éste, ya que por mucho que se revise siempre se deslizan algunos. Los autores agradecerían que se los hicieran saber.

Es deber nuestro, comos autores, agradecer a la Vicerrectoría Académica quien, a través del Fondo de Desarrollo para la Docencia, hizo posible este texto. También agradecemos a la Facultad de Matemáticas tanto por su apoyo como por darnos el tiempo necesario para dedicarnos al libro. A su vez, agradecemos al numeroso alumnado que nos aguantó y nos colaboró con los distintos apuntes y guías que les dimos por muchos años, es por ellos que principalmente se dirige este texto a los futuros alumnos nuestros.

Gonzalo Masjuán Torres, Fernando Arenas Daza, Felipe Villanueva Mansilla

Santiago, enero de 2006.

INDICE GENERAL

Capítulo 1 Trigonometría de un triángulo rectángulo Capítulo 1 TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO

1.1Breve introducción histórica 1.1Breve introducción histórica Según sabemos, el origen de la Trigonometría debe buscarse en el tiempo en que se hacía el estudio de la esfera celeste, en la cual se suponía que se desplazaban el sol, la luna y las estrellas y cuya posición se calculaba mediante la medición de ángulos. Los dos personajes famosos y más importantes que se interesaron por estos estudios fueron los astrónomos griegos Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) y Claudio Ptolomeo (siglo II d.C.). Como consecuencia de lo que hemos mencionado, es fácil creer que la principal, si no única, aplicación de la Trigonometría es la resolución de triángulos y, por tanto, sus campos de aplicación deberían ser la Astronomía, la Navegación y la Agrimensura. Esto no es así, pues su aplicación en el Cálculo y otras ramas de la Matemática es amplia en nuestros días. Pues bien, la Trigonometría desde los inicios, como hemos dicho, se sustenta básicamente en los triángulos rectángulos y, por ende, en el famoso Teorema de Pitágoras . Por tal motivo es pertinente entregar una pequeña biografía de: