Gonzalo Masjuán Torres - Álgebra clásica

(6) ∀ n ∈ ( n = 1 ∨ ∃ m ∈ ( s ( m ) = n )).

Demostración:

Sólo entregaremos la demostración de (3). Pues bien, sea A = { n ∈ | n > 0}, haremos ver que A es inductivo.

En primer lugar, 1 ∈ A , pues sabemos que 1 > 0, esto es a causa de la axiomática de que ( , +, ·, ≤) es campo ordenado. Por otra parte, sea n ∈ A , entonces n ∈ y n > 0, luego ( n + 1) ∈ y como n + 1 > 1 > 0 se concluye que ( n + 1) ∈ A .

Por lo tanto, tenemos que A es inductivo, en consecuencia, resulta ⊆ A , o sea, ∀ n ∈ (n > 0).

Nota:

El esquema que se utilizó en la demostración anterior es el siguiente:

(1) Se construye el conjunto A = { n ∈ | n satisface la propiedad p }, lo que simbolizamos mediante A = { n ∈ | p ( n )}.

(2) Se demuestra que el conjunto A definido en (1) es inductivo, es decir:

(2.1) 1 ∈ A , lo que es equivalente a demostrar que 1 tiene la propiedad p , es decir p (1).

(2.2) n ∈ A s ( n ) ∈ A , o sea si n ∈ A , entonces p ( n ) → p ( n + 1).

(2.3) Se concluye que ⊆ A , o sea, ∀ n ∈ (p(n) .

El esquema anterior es lo que se conoce como Primer principio de inducción matemática, este principio nos entrega un metodo para demostrar cualquier propiedad p ( n ) para todos los números naturales.

1.2 Principios de inducción

1.2.1 Primer principio de inducción

El enunciado de este principio es el siguiente:

Sea p ( n ) una formula en n , entonces:

[ p (1) ∧ ∀ n ∈ ( p ( n ) → p(n + 1))] → ∀ n ∈ ( p ( n )).

Nota:

Tenemos:

2 + 4 + 6 + ⋯ 2 n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n ),

ahora bien, veremos en el problema resuelto [1.3.2] que:

1 + 2 + 3 + ⋯ + n = ,

con lo que:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) = 2 · = n ( n + 1) = n 2+ n ≠ n 2+ n + 1,

sin embargo, si consideramos la proposición falsa:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = n 2+ n + 1,

como verdadera para n , sumando (2 n + 2) a cada lado de ésta, se cumple que:

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n + (2 n + 2) = n 2+ n + 1 + (2 n + 2) =

= n 2+ 2 n + 1 + n + 1 + 1 = ( n + 1) 2+ ( n + 1) + 1,

vemos que se satisface la hipótesis inductiva. No se puede tener la igualdad para un primer n , por ejemplo, para 1, 2, etc.

Al no cumplirse para n = 1, 2, 3, · · · no podemos concluir que es falsa, pues podría ser verdadera por ejemplo para n = 2789341.

Nota:

El siguiente resultado es equivalente con el primer principio de induccióny proposición el metodo para resolver aquellos casos en que se desea demostrar inductivamente una propiedad p ( n ) no necesariamente para todo natural n , sino que para aquellos n mayores o iguales a algún natural a .

Teorema 1.2.1 Sea n 0∈ , p ( n ) una fórmula que contiene a n, entonces:

[ p ( n 0) ∧ ∀ n ∈ (( n ≥ n 0∧ p ( n ) → p ( n + 1))] → ∀ n ∈ ( n ≥ n 0) p ( n ).

Demostración:

Si n 0= 1 se tiene el primer principio de inducciony el teorema es cierto. Consideremos, entonces para n 0∈ el conjunto:

I 1= { n ∈ | ( n ≥ n 0→ p ( n )} .

Haremos ver que I 1es un conjunto inductivo.

En primer lugar, tenemos que 1 ∈ I 1puesto que:

(i) Si 1 ≥ n 0, entonces n 0= 1 y, por hipótesis, se tiene que p ( n 0) es verdad, luego, p (1) es verdadero y 1 ∈ I 1.

(ii) Si 1 n 0, entonces 1 ≥ n 0→ p (1) es verdad, porque el antecedente es falso, luego 1 ∈ I 1.

Tomemos ahora n ∈ I 1, entonces n ∈ y n ≥ n 0→ p(n), luego tenemos que (n + 1) ∈ y se presentan dos casos: