Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

ESTRUCTURAS DE ÁLGEBRA MULTILINEAL

Educació. Materials 16

Joaquín Olivert Pellicer

ESTRUCTURAS DE ÁLGEBRA MULTILINEAL

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA 1996

Col·lecció: Educació. Materials

Director de la col·lecció: Guillermo Quintás Alonso

Joaquín Olivert Pellicer, doctor en Ciències Físiques, és professor titular de Física Teòrica de la Universitat de València.

© El autor, 1996

© D'aquesta edició: Universitat de València, 1996

ISBN: 978-84-370-9416-8

Dipòsit legal: V-2533-1996

Índice

PRÓLOGO

PREÁMBULO

PARTE I: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CARDINALIDAD

Capítulo 1. Axiomática

1.1 Clases y conjuntos

1.2 Subconjuntos

1.3 Singuletes y pares ordenados

1.4 Relaciones binarias

1.5 Aplicaciones o funciones

1.6 Producto cartesiano y leyes de composición

1.7 Relaciones de equivalencia

Capítulo 2. El axioma de elección

2.1 Buena ordenación

2.2 Ordinales y números ordinales

2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes

Capítulo 3. Cardinalidad

3.1 Números naturales

3.2 Números cardinales

3.3 Conjuntos finitos e infinitos

3.4 Operaciones con cardinales. Propiedades de los números transfinitos

3.5 Hipótesis del continuo

Capítulo 4. Aplicaciones en estructuras algebraicas

4.1 Aplicaciones en relaciones de equivalencia

4.2 Estructuras algebraicas

4.3 Homomorfismos de grupos

4.4 Construcción de los números enteros y racionales

Capítulo 5. Conjuntos ordenados

5.1 Ordenación en los números naturales. Caracterización

5.2 Relación de orden en el conjunto de los números enteros

5.3 Extensión de la relación de orden a los racionales

5.4 Propiedades arquimedianas de los números enteros y racionales. Algoritmo de la división

5.5 Operaciones con desigualdades

5.6 Forma decimal de los números racionales

Capítulo 6. Álgebra de ideales

6.1 Anillos de integridad

6.2 Máximo común divisor. Teorema de Bezout

6.3 Fracciones continuas. Resolución de la ecuación diofántica lineal

6.4 Teorema Chino del resto

6.5 Anillos de polinomios

6.6 Aplicación a los cuerpos

Capítulo 7. El número real

7.1 Sucesiones en

7.2 Sucesiones de Cauchy

7.3 Construcción de los números reales

7.4 Valor absoluto de un número real. Propiedades

7.5 Convergencia de sucesiones de Cauchy en

7.6 Los números complejos

7.7 Cardinalidad de y de

PARTE II: OPERACIONES CON MÓDULOS

Capítulo 8. Módulos

8.1 Módulos de A-homomorfismos

8.2 Producto, coproducto y suma directa de A-módulos

8.3 Módulos libres

Capítulo 9. Sucesiones exactas de homomorfismos de módulos

9.1 Sucesiones exactas de módulos

9.2 Teoremas de isomorfía

9.3 Módulos proyectivos

Capítulo 10. Producto tensorial

10.1 Definición y existencia

10.2 Bimódulos

10.3 Producto tensorial de homomorfismos de módulos

Capítulo 11. Álgebra tensorial

11.1 Definición y existencia

11.2 Grupos de permutaciones

11.3 A-homomorfismos inducidos por permutaciones

Capítulo 12. Producto exterior

12.1 Potencias exteriores

12.2 Álgebra exterior

PARTE III: TENSORES. FORMAS EXTERIORES

Capítulo 13. Espacios vectoriales

13.1 Concepto de dimensión

13.2 Teoremas de la dimensión

13.3 Espacio vectorial de homomorfismos. Espacios duales

Capítulo 14. Espacios tensoriales

14.1 Producto tensorial de módulos libres

14.2 Producto tensorial de espacios vectoriales

14.3 Aplicaciones

14.3.1 Complexificación de espacios vectoriales reales

14.3.2 Tensores

Capítulo 15. Formas exteriores

15.1 Dimensión de potencias exteriores de espacios vectoriales. Componentes estrictas

15.2 Álgebra de formas multilineales. Antisimetrización

15.3 Álgebra de Grassmann

15.4 Determinantes de un endomorfismo

Capítulo 16. Espacios simplécticos

16.1 Formas bilineales degeneradas

16.2 Espacios vectoriales presimplécticos

16.3 Espacios vectoriales simplécticos. Grupos simplécticos

PARTE IV: PRODUCTOS ESCALARES. MÉTRICAS

Capítulo 17. Formas hermíticas

17.1 Definición y propiedades inmediatas. Formas hermíticas positivas.

17.2 Método de ortonormalización de Gram-Schmidt

17.3 Espacios euclídeos

17.4 Ley de ascenso y descenso de índices

Capítulo 18. Operadores normales

18.1 Vectores y valores propios de endomorfismos

18.2 Operadores adjuntos en espacios prehilbertianos

18.3 Operadores normales

18.4 Operadores hermíticos y unitarios

18.5 Extensiones a los espacios complexificados

18.6 Operadores normales en espacios euclídeos

18.7 Isometrías en espacios euclídeos

Capítulo 19. Formas canónicas de matrices

19.1 Polinomio característico

19.2 Teorema de Cayley-Hamilton

19.3 Endomorfismos nilpotentes

19.4 Subespacios invariantes. Nilpotencias parciales. Ecuación minimal

19.5 Teorema de Jordan-Che valley. Consecuencias

19.6 Determinación del polinomio característico. Método de Fadeev.

Capítulo 20. Formas cuadráticas

20.1 Método de resolución de Gauss

20.2 Descomposición de una matriz cuadrada en producto de matrices triangulares

20.3 Determinación de la matriz inversa

20.4 Signatura de una forma cuadrática

20.5 Reducción de una forma cuadrática por el método de Jacobi

20.6 Reducción de una forma cuadrática por el método de Lagrange

20.7 Clasificación de cónicas (no degeneradas)

Capítulo 21. Productos tensoriales de álgebras asociativas

21.1 Aplicación de estructura. Producto tensorial canónico

21.2 Módulos, anillos y álgebras graduadas

21.3 Producto tensorial anticonmutativo de álgebras G-graduadas

21.4 Involuciones y antiderivaciones

Capítulo 22. Productos escalares de álgebras tensoriales y exteriores.

22.1 Núcleos de productos tensoriales de aplicaciones lineales

22.2 Productos escalares en el álgebra tensorial

22.3 Producto escalar en el álgebra exterior