Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

22.4 Productos interiores. Antiderivaciones en álgebras exteriores

Capítulo 23. Espacios orientados

23.1 Delta generalizada

23.2 Orientaciones

23.3 Operador de Hodge

23.4 Producto vectorial y producto mixto

PARTE V: ÁLGEBRAS DE CLIFFORD Y GRUPOS DE SPIN

Capítulo 24. Álgebras de Clifford

24.1 Definición. Propiedades inmediatas

24.2 Existencia y unicidad

24.3 Homomorfismos de álgebras inducidas por isometrías

24.4 Graduación en álgebras de Clifford

24.5 Cuaterniones. Ejemplos de álgebras de Clifford

Capítulo 25. Álgebras de Clifford de dimensión finita

25.1 Descomposición directa

25.2 Álgebras de Clifford sobre espacios de dimensión finita

25.3 El elemento canónico e Δ

25.4 Centro y anticentro

Capítulo 26. Isomorfismos de álgebras de Clifford

26.1 El álgebra C E

26.2 Producto tensorial canónico de álgebras de Clifford

26.3 Suma directa de espacios duales

26.4 Álgebras de Clifford sobre espacios vectoriales complejos

Capítulo 27. Determinación de álgebras de Clifford

27.1 Álgebras de Clifford en espacios vectoriales reales de dimensión finita

27.2 Álgebras de Clifford básicas

27.3 Complexificación de álgebras de Clifford reales

27.4 Cálculo de álgebras de Clifford

Capítulo 28. Representaciones de álgebras de Clifford

28.1 La involución S E

28.2 Representaciones de álgebras asociativas

28.3 Representaciones de álgebras de Clifford

28.4 Representación adjunta twistorizada

Capítulo 29. Grupos de Clifford

29.1 Grupo de Clifford

29.2 Propiedades del homomorfismo λE

29.3 Relación entre Γ Ey el grupo ortogonal O (E)

29.4 El grupo de spin

BIBLIOGRAFIA

DICCIONARIO DE MATERIAS Y AUTORES

PRÓLOGO

El Prof. Joaquín Olivert me ha pedido prolongar su excelente libro de Matemáticas Estructuras de álgebra multilineal y es un placer, en vista de la personalidad académica y científica del autor y de las características de este compendio de conceptos de álgebra.

El Prof. Olivert es un cultivador de los aspectos físico-matemáticos de la Mecánica Relativista, a lo que incorpora los avances más importantes del Algebra del siglo XX. Este progreso está ligado a una generalidad y una abstracción cada vez mayor de los temas tratados, que pueden aplicarse fructíferamente a los problemas concretos. A través de este proceso, el autor del presente libro ha elaborado toda una pedagogía de los nuevos conceptos, que cubren de modo coherente las distintas estructuras algebraicas.

El libro ofrece una presentación del álgebra moderna desde el principio, para estudiantes de licenciatura de Matemáticas y de Física y para pos-graduados, cubriendo tanto materiales estándar de la construcción de los números como el desarrollo del álgebra multilineal para terminar con un tratamiento bastante exhaustivo sobre álgebras de Clifford y grupos de espín. La obra aparece estructurada de modo autocontenido, con un desarrollo lógico que permite adquirir una visión unitaria de las estructuras algebraicas. El autor ha decidido, sin embargo, no incluir algunas aplicaciones de los temas desarrollados que, además de su interés intrínseco, podrían haber contribuido, sin menoscabo de un conocimiento global y riguroso, a una lectura y estudio con una concentración no tan exigente.

Una dificultad fundamental que sienten los estudiantes de Álgebra con relativa frecuencia es la de aprender a hablar un lenguaje nuevo y abstracto que promete ser prodigiosamente eficaz. El disponer de un libro con una presentación unitaria que cubre temas tan variados es una garantía de coherencia y de construcción escalonada en ese lenguaje. El autor ha hecho énfasis en ese aspecto de exposición lógico-matemática para rentabilizar la adquisición rápida de los objetivos propuestos y hacerse comprender en la introducción de nuevas estructuras.

El desarrollo seguido por el Prof. Olivert en la presentación de las unidades didácticas del libro ha estado modelado por los avances conceptuales recientes de las matemáticas, y así hace énfasis por ejemplo en los homomorfismos de cada tipo algebraico. La noción de módulo juega hoy en día un papel central en muchas partes del álgebra y en sus aplicaciones a la topología algebraica y diferencial. De ahila presentación de toda una unidad didáctica en el libro para desarrollar las operaciones con módulos, como paso previo al estudio de tensores y formas exteriores. Hasta aquí los capítulos siguen un orden natural. Las unidades didácticas siguientes son, en gran medida, independientes entre sí, por lo que hay múltiples posibilidades de organizar un curso basado en algunos temas seleccionados. Las formas hermíticas, las formas cuadráticas y los desarrollos de álgebras graduadas son en actualidad un bagaje esencial de la formación de físicos y matemáticos.

Una novedad sobresaliente en la obra trabajada por el Prof. Olivert es la incursión, en un libro de las características globales mencionadas del álgebra multilineal, en el problema de las álgebras de Clifford y grupos de espín. La impresión que se obtiene con el estudio de esta última unidad didáctica es el aprovechamiento de conceptos y términos desarrollados con detalle en el libro. Se presenta una lista completa de las álgebras de Clifford, que será de gran interés para los estudiosos e investigadores de la física matemática moderna. Considero un acierto la selección de estos temas como colofón final de una obra organizada con cuidado de la presentada aquí.

En suma, la obra que llega ahora al lector es de un gran valor, con un estilo directo y constructivo de las estructuras del álgebra multilineal. Con una organización bien definida y presentada, el libro puede indistintamente ser usado como libro de estudio sistemático o como obra de consulta, y merece que se le reserve una acogida muy favorable por parte de las generaciones presentes y futuras de estudiantes y estudiosos de matemáticas y de física.

JOSÉ BERNABÉU

Catedrático de Física Teórica

Universitat de València

PREÁMBULO

Elaborar un nuevo libro de Matemáticas en la actualidad no es tarea fácil si se quiere que contenga cierta originalidad. Se han publicado muchísimas obras que abarcan todas las facetas de esta ciencia, y muy poco se puede decir que no se haya tratado en alguno de los textos existentes. No obstante, nos hemos arriesgado a redactar este libro, Estructuras de álgebra multilineal , motivados por varias razones.

La primera y principal ha sido dar un compendio lo más amplio posible de conceptos de álgebra, que se consideran básicos para que el estudiante pueda ampliarlos en otros textos especializados y específicos. Se ha estructurado de manera autocontenida sin descuidar, en ningún momento, el rigor que en Matemáticas se exige, y sin escatimar demostraciones que se requieran para una exposición lógica de la obra. Creemos que los usuarios de este libro pueden estudiarlo sin necesidad de ayuda ajena. En este sentido, se pretende recuperar la figura del «libro del alumno» de antaño y que en la actualidad se ha perdido.

Los temas tratados se han presentado entrelazados de modo coherente, con el fin de que el lector adquiera una visión global y unitaria de las distintas estructuras algebraicas expuestas. En un mundo tan especializado como el presente, es difícil encontrar profesionales del ramo que posean una base amplia de conocimientos, pues prontamente se dedican a estudiar temas concretos que interese en su investigación. Incluso no conocemos ninguna obra, al menos en Lengua Española, que trate tan variados y prolijos temas de modo unitario como la que presentamos. La ventaja para los lectores no iniciados en estructuras algebraicas es que, con la obra presente, no precisan consultar otros libros, en número indeterminado, para conseguir los mismos objetivos que se consiguen con el que proponemos, con el consiguiente ahorro de tiempo. Debido a estas razones y al extenso volumen de la obra, se ha excluido la faceta práctica de los temas desarrollados. Los criterios del autor han sido que existen innumerables textos que se dedican a ello, por lo que los interesados pueden consultarlos sin dificultad; por otra parte, se ha primado el criterio de que el estudiante adquiera un conocimiento global, coherente y estructurado del álgebra multilineal.