Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Definición 3.9: Una clase Xx se dice que está parcialmente ordenada respecto a la relación binaria si x y e y z, entonces x z.

Es decir que sólo se exige que la relación binaria posea la Propiedad transitiva.En realidad, de acuerdo con el Teorema de la buena ordenación, todo conjunto admite un buen orden respecto a la relación de orden definida en el Teorema 3.3.Para esta relación todo conjunto está parcialmente ordenado; pero puede suceder que no lo sea para otro tipo de relaciones binarias.

Definición 3.10: Sea A un subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado con la relación binaria . Se dice que c X es cota superior de A si y c para todo y A. Y se dirá que c es cota inferior de A si c y para todo y A. La menor de las cotas superiores de un conjunto se ¡lama supremo, y la mayor de las cotas inferiores es llamada ínfimo.

Un elemento m A se dirá que es maximal si no existe ningún elemento y A que verifique que m y. Y se dirá minimal si tampoco existe un y A tal que y m.

Definición 3.11: Sea X un conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden . Se dice que X es un conjunto inductivo (o inductivamente ordenado) si toda cadena posee una cota superior.

Con estas nuevas definiciones, prosigamos estudiando consecuencias del Axioma de eleccióny sus equivalencias.

Teorema 3.12: (Lema de Zorn) Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal. Demostración :

Sea X un conjunto inductivamente ordenado por una relación de orden . Para cada a x definimos

y con Xa , construimos S = {X a:a x }.

La aplicación

es biyectiva y conserva el orden, es decir,

Esto implica que S es inductivo con la relación de inclusión C, luego en virtud del Teorema 3.8 posee un elemento maximal, y por lo tanto X también lo tiene.

Teorema 3.13: Todo elemento de un conjunto inductivamente ordenado precede a un elemento maximal. Demostración :

Sea A un conjunto inductivamente ordenado y tomemos u A. Formemos la siguiente clase

Evidentemente B A. Luego en virtud del Teorema 2.1 del Capítulo 1 B es conjunto, que obviamente es inductivo. Por el Lema de Zorn, B posee un elemento maximal m que también es maximal en A. En consecuencia, u m.

Podría suceder que u fuese maximal en A. Dado que u u , résulta que u precede a sí mismo.

Teorema 3.14: El Teorema 3.13 induce el Axioma de elección de Zer- melo.

Demostración :

Sea X un conjunto no vacío arbitrario, y sobre él formemos la clase A de funciones de elección definidas sobre subconjuntos de X. Esta clase es no vacía, pues los subconjuntos de la forma {x} tienen por función de elección la definida por F({z}) = x . En virtud de la Proposición 6.5 del Capítulo 1 A es conjunto por ser subclase de P(X)X , ya que si X es conjunto, P(X) es conjunto (Teorema 2.7 del mismo capítulo).

Establezcamos en A un orden parcial: Dadas f,g A, diremos que f g si y sólo si def f def g y g |def f = f . Claramente esta relación tiene la Propiedad transitiva.

Veamos que A es inductivo :

Consideremos una cadena {f i} arbitraria de A y hemos de encontrar una cota superior. Para ello construimos la aplicación

Evidentemente es cota superior de la cadena. Luego A es inductivo.

Al ser A inductivo, podemos tomar un elemento maximal h de A que seguirá siendo una función de elección sobre subconjuntos de X. Puede suceder que def h — p(X ), o que exista un elemento no vacío (subconjunto de X) u ‘P(X) ~ def h. Si ocurre el primer caso, se tiene ya el Axioma de Zermelo.En caso contrario, tomemos un elemento v u; y definamos la función h {(u, v)} que es una función de elección sobre def h {u} . En consecuencia, h no sería element maximal.

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