Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :

Consideremos x una .E-sección de con x ≠ . En virtud del Teorema1.7, existe un v de manera que

Como cada elemento de v es un ordinal,

con lo que x = v es ordinal.

Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈

En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo . La negación de este aserto consiste la paradoja de Burali- Forti. Históricamente fue la primera contradicción que se encontró a la Teoría de Conjuntos de Cantor. Si fuera un número ordinal, sería un elemento de , y ello conduce a que tendría elementos que no son números ordinales, en contra de la definición de . Además se violaría el Axioma de regularidad.

Definición 2.17:

Teorema 2.18:

1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y

2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces

3 ºSi x ⊂ , entonces x es un ordinal.

Demostración :

1 ºSi x = y , se verifica trivialmente x ⊂ y. Si x < y, la Definición 2.17conduce a que x y. Ahora bien, al ser y ordinal, es saturado, por lo que x ⊂ y. El recíproco se deduce de inmediato de la Proposición2.8.

2 ºTrivial.

3 ºPor la Definición 1.12, del Capítulo 1, tomemos z 1,z 2 IJ®-Existen y\ , x tales que

Ahora bien, debido a que x es un ordinal, y 1, y 2también lo son (Teorema2.12) y, a su vez, z1 y Z 2son ordinales. El Corolario1.11 conduce a que, o z1 z 2, o z2 z1. Esto prueba que E conecta a x .

En el razonamiento precedente se ha probado además que los elementos de x son saturados (por ser ordinales). Probemos que x es saturado :

Sea

Existe un y x tal que 2 y. Por la condición de saturación, ,

es decir, u ∁ y; y en virtud de la Proposición2.8, u y. Con ello se ha probado que u x, de donde

Luego x es saturado, y por tanto, un ordinal.

Proposición 2.19: Si x ⊂ y x ≠ , entonces ⋂ x ⊂ x.

Demostración :

Debido a que es ordinal, es saturado. Por la condición de saturación, x es ordinal. Por lo tanto, todo elemento de x es ordinal y subconjunto de x. Por esta razón, los elementos de elementos de x también serán miembros de x. En consecuencia,⋂ x ⊂ x.

Definición 2.20: x + 1 = x {x}.