Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Consideremos ahora x ~ def f . En virtud del Teorema 2.9 del Capítulo 1, f(x) = .

Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.

En el caso de que f def g, el Teorema 2.9 citado afirma que g(f) es conjunto. Tomemos a continuación el ¿-primer elemento y de ~ def f y h = f {y, g(f)}. Puesto que def h = def f y también es saturado y es conectado por E. Luego def h es ordinal. A su vez se cumple de la misma definición de h que h(z) = g{h|z ) para todo z def h. Aplicando el Lema2.25, h ⊂ f . Esto conduce a que esta última aplicación h es de las que define la función f, lo que conduce a que y def f, que es contradictorio, ya que y ~ def f.

Luego f def g , entonces por las razones ya expuestas g(f) = , con lo que

Con ello se ha probado que la relación anterior es válida para todo ordinal.

2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes

Definición 3.1: Una función de elección es una aplicación F de manera que F(x) x para cada elemento x no vacío del dominio de F.

Con este nuevo concepto, enunciamos el Axioma de elecciónen la modalidad dada por Godei :

VIII Axioma de elección

Existe un función de elección F cuyo dominio es ~ .

En realidad la función de elección selecciona un elemento de cada conjunto no vacío.

Si se restringe este axioma a cada conjunto no vacío se tiene la versión de este axioma dada por Zermelo :

Axioma de elección de Zermelo

Para cada conjunto no vacío X existe una función de elección

definida en P(X)~ (P(X): partes de X ).

Evidentemente el Axioma de elecciónimplica el Axioma de Zermelo.

Estudiemos sus consecuencias :

Los teoremas que vamos a probar se basan en el Axioma de elección;pero con pequeñas variantes en las demostraciones también son válidos a partir del Axioma de Zermelo.

.

Teorema 3.2: (de numerabilidad) Si x es un conjunto, existe una aplicación biyectiva, cuya imagen es x y su dominio es un número ordinal .

Demostración :

Construimos una función f de la siguiente manera: Sea la aplicación definida como g(h) = F{x ~ Im h ), donde h es conjunto. En virtud del Teorema2.26, existe una aplicación F , cuyo dominio es un ordinal y que verifica f(u) = g(f| u)para cada número ordinal u. Entonces f{u) = F{x~Im f|u).

Si u def f, f(u) es conjunto (Teorema 5.9 del Capítulo1), y por tanto

Probemos que f es una biyección: Partimos de

Si v, u son distintos, uno será mayor que el otro (por ser ordinales). Sea, por ejemplo, v < u. Y ello conduce a que f{v) Im f|u. Pero por (3.2.2), f(u) Im f| , que contradice (3.2.1). Luego / es una inyección.

Evidentemente def f ≠ , pues de lo contrario f -1sería una aplicación, cuyo dominio sería una subclase de x y, por tanto, subconjunto (por serlo x). Por el Axioma de sustitución, Ö sería un conjunto, hecho que hemos probado que no lo es. Entonces def f £ . Llamemos u a def f.

Puesto que def f def f en virtud de la Proposición2.2, es decir, u no es elemento de def f, u deff/, y el Teorema 5.9 citado asegura que f(u) = y, por tanto, F(x ~ Im f) = . Pero el dominio de F es ~ , y aplicando de nuevo el Teorema 5.9,

es decir, x = Im f. Entonces f| defes una aplicación biyectiva entre el ordinal def f y el conjunto x.

El siguiente teorema también es debido a Zermelo :

Teorema 3.3:(de la buena ordenación) Todo conjunto admite un buen orden.

Demostración :

Consideremos un conjunto X. Por el teorema anterior, existe una biyección f entre X y un ordinal y. Construyamos a partir de f un buen orden en X , definiendo la relación de orden

A su vez de este resultado deducimos la siguiente proposición :