Gabriel Navarro Ortega - Un curso de álgebra

UN CURSO DE ÁLGEBRA

Educació. Materials 56

Gabriel Navarro

UN CURSO DE ÁLGEBRA

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

Colección: Educació. Materials

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1.ª edición: abril 2002

2.ª edición, corregida y aumentada: mayo 2016

© Del texto: el autor, 2016

© De esta edición: Universitat de València, 2016

Coordinación editorial: Maite Simón

Maquetación: el autor

Corrección: Communico-Letras y Píxeles S.L.

Cubierta: Celso Hernández de la Figuera

ISBN: 978-84-9134-029-4

Para Isabel , Javier , Gabo y Nacho

Índice general

INTRODUCCIÓ Introducción Este libro ofrece un primer curso de álgebra no lineal. En él, elegimos el objetivo de probar el gran teorema de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales. Al mismo tiempo que aprendemos a «hacer» álgebra con el alumno, este tiene la sensación de que estamos resolviendo un problema natural con raíces históricas. En la primera parte del libro introducimos los grupos. Aunque tratamos de no apartarnos de nuestro objetivo, algunas veces no podemos resistir probar algunos teoremas que no son estrictamente necesarios para llegar a este. Por ejemplo, en el capítulo 5 damos una nueva demostración del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Tampoco la teoría de Sylow sería esencial, aunque difícilmente un especialista en teoría de grupos finitos podrá dejar de presentarla. La segunda parte del libro empieza en el capítulo 6 con los resultados más básicos sobre anillos y polinomios que nos permiten desarrollar la teoría de Galois. Seguramente, un especialista en teoría de anillos preferirá aumentar los contenidos de esta sección a costa de la parte de grupos. En el capítulo 7, estudiamos las extensiones de cuerpos (donde por vez primera necesitaremos resultados elementales de álgebra lineal). Finalmente, en el capítulo 8, estamos ya preparados para estudiar la teoría de Galois. Por simplicidad, sus teoremas principales los probaremos sobre cuerpos de característica cero. (Una vez entendido este caso, el alumno interesado no tendrá dificultad en entender la teoría de Galois sobre cuerpos de cualquier característica). Dependiendo del tiempo que quedara de curso, se podrían introducir algunos de los tópicos que no incluimos como construcciones con regla y compás o extensiones ciclotómicas. A lo largo de los distintos capítulos, proponemos diversos ejercicios que solemos utilizar en las demostraciones. La resolución de estos siempre es rutinaria y permite al alumno practicar las definiciones y entender mejor los teoremas. Al final de cada capítulo, proponemos una serie de problemas (algunas de cuyas soluciones las encontrará el lector al final del libro). En la bibliografía, damos la referencia de algunos de los textos con los que el alumno podrá continuar estudiando álgebra. Finalmente, este libro no hubiera sido el mismo sin la colaboración de una profesora extraordinaria de álgebra: María Jesús Iranzo. También quiero dar las gracias a Alexander Moretó y a Francisco Pérez Monasor. Valencia, febrero de 2002

NOTA A LA SEGUNDA EDICIÓN Nota a la segunda edición Han pasado catorce años desde que apareció la primera edición de este libro y el álgebra que aquí se explica no ha cambiado en este tiempo. Pero el autor sí, y quizá también el tipo de alumnos que llega a las facultades de matemáticas. Pienso por ejemplo en mi hijo Nacho, actualmente uno de esos estudiantes. Al recomendarle mi libro, estaba convencido de que iba a apreciar, entre otras cosas, la brevedad de alguna de mis demostraciones, pero no ha sido exactamente así (aunque tampoco, creo, al contrario). De la experiencia de explicar el contenido de este libro a mis alumnos he aprendido mucho: cuándo y cómo explicar mejor un argumento, dónde introducir exactamente determinada definición, qué conceptos es necesario que se repasen de clase en clase, etc. Desafortunadamente, el estilo del aula no se puede trasladar literalmente a un libro. Aunque algo sí. Aparte de corregir algún error, de mejorar demostraciones, añadir nuevos teoremas, reordenar ciertas secciones, o de escribir más ejemplos y problemas, he creído conveniente escribir dos capítulos nuevos. En el primero introduzco informalmente números, conjuntos y aplicaciones, tal y como lo hago en clase. Esta introducción no pretende ser exhaustiva. También, antes de empezar la teoría de Galois, he escrito un capítulo sobre espacios vectoriales, solo con los resultados básicos que luego necesitaré. (Por tanto, la numeración de los capítulos es distinta respecto de la pasada edición). Dependiendo de los objetivos específicos que se tengan en el curso o del nivel de los estudiantes, tanto estos nuevos capítulos como otros pueden ser omitidos. Después de estos catorce años, no estoy seguro de ser mejor matemático; pero creo que he mejorado como profesor, y he procurado que esto quede reflejado en lo que he escrito. Es posible que no haya una tercera edición del libro, por lo que he intentado que esta sea la definitiva. Quiero dar las gracias a Noelia Rizo, Lucía Sanus, Joan Tent y Carolina Vallejo por toda la ayuda prestada. Valencia, abril de 2016

Capítulo 1. Conjuntos, aplicaciones, números

Capítulo 2. Grupos

Capítulo 3. Homomorfismos

Capítulo 4. Acciones de grupos

Capítulo 5. Grupos de permutaciones

Capítulo 6. Teoremas de Sylow

Capítulo 7. Anillos, polinomios y cuerpos

Capítol 8. Espacios vectoriales

Capítulo 9. Extensiones de cuerpos

Capítulo 10. Teoría de Galois

APÉNDICE: SOLUCIONES A ALGUNOS PROBLEMAS

BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE ANALÍTICO

Introducción

Este libro ofrece un primer curso de álgebra no lineal. En él, elegimos el objetivo de probar el gran teorema de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales. Al mismo tiempo que aprendemos a «hacer» álgebra con el alumno, este tiene la sensación de que estamos resolviendo un problema natural con raíces históricas.

En la primera parte del libro introducimos los grupos.

Aunque tratamos de no apartarnos de nuestro objetivo, algunas veces no podemos resistir probar algunos teoremas que no son estrictamente necesarios para llegar a este. Por ejemplo, en el capítulo 5 damos una nueva demostración del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Tampoco la teoría de Sylow sería esencial, aunque difícilmente un especialista en teoría de grupos finitos podrá dejar de presentarla.

La segunda parte del libro empieza en el capítulo 6 con los resultados más básicos sobre anillos y polinomios que nos permiten desarrollar la teoría de Galois. Seguramente, un especialista en teoría de anillos preferirá aumentar los contenidos de esta sección a costa de la parte de grupos.

En el capítulo 7, estudiamos las extensiones de cuerpos (donde por vez primera necesitaremos resultados elementales de álgebra lineal). Finalmente, en el capítulo 8, estamos ya preparados para estudiar la teoría de Galois. Por simplicidad, sus teoremas principales los probaremos sobre cuerpos de característica cero. (Una vez entendido este caso, el alumno interesado no tendrá dificultad en entender la teoría de Galois sobre cuerpos de cualquier característica).