Gabriel Navarro Ortega - Un curso de álgebra

Para todo conjunto A , tenemos definida la función identidad1 A: A → A con 1 A( a ) = a para todo a ∈ A .

Con frecuencia, lo primero que nos preguntamos sobre una aplicación f es si es inyectiva o suprayectiva ; estos dos adjetivos se asocian de forma natural a las funciones. Una aplicación f : A → B es inyectivasi f ( a 1) = f ( a 2) solo si a 1 = a 2, para a 1, a 2∈ A . En otras palabras, f es inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B . Si queremos comprobar que una función f es inyectiva, escribimos la igualdad f ( a 1) = f ( a 2) y tratamos de averiguar si a 1es necesariamente igual a a 2o no. Informalmente, si f es una aplicación inyectiva, pensamos que B contiene un subconjunto ( f ( A )) que tiene las mismas propiedades que A .

Ejercicio 1.2 Si A tiene n elementos , B tiene m elementos , y f : A → B es injectiva , probar que n ≤ m .

Una aplicación f : A → B es suprayectivasi f ( A ) = B . En otras palabras, si para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f ( a ) = b . Si queremos comprobar si una función f es suprayectiva, elegimos un elemento b ∈ B arbitrario y lo intentamos expresar como f ( a ) para algún a de A .

Ejercicio 1.3 Si A tiene n elementos , B tiene m elementos , y f : A → B es suprayectiva , probar que n ≥ m .

Teorema 1.2 Supongamos que A y B tienen n elementos , y sea f : A → B. Entonces f es inyectiva si y solo si f es suprayectiva .

Demostración.Esta es la primera vez en este libro que probamos un teorema si y solo si , por lo que hacemos una pausa para explicar lo que significa. Cuando tengamos que probar que un enunciado P es verdadero si y solo si un enunciado Q es verdadero, tenemos que probar que P implica Q (esto es, suponiendo P demostramos Q ) y que Q implica P (suponiendo Q demostramos P ).

Escribamos A = { a 1, …, a n }. Así, f ( A ) = { f ( a 1), …, f ( a n )} ⊆ B .

Supongamos que f es inyectiva. Entonces f ( A ) tiene n elementos, pues f ( a i ) ≠ f ( a j ) si i ≠ j . Como B tiene n elementos, necesariamente f ( A ) = B , y por tanto f es suprayectiva. Recíprocamente, si f es suprayectiva entonces f ( A ) = B tiene n elementos, y por tanto no puede ocurrir que f ( a i ) = f ( a j ) para distintos i y j .

Finalmente, una aplicación f : A → B es biyectivasi f es inyectiva y suprayectiva. Las aplicaciones biyectivas (o biyecciones) son las mejores aplicaciones que podemos encontrar entre dos conjuntos.

Ejemplo 1.1La función f : ℕ → ℕ dada por f ( n ) = 2 n + 1 es inyectiva, pues si f ( n ) = f ( m ), entonces 2 n + 1 = 2 m + 1, y concluimos que n = m . Sin embargo, f no es suprayectiva, pues no podemos hallar ningún n ∈ ℕ tal que f ( n ) = 2. La función g : {1, 2, 3} → { a , b } dada por g (1) = a , g (2) = b y g (3) = a no es inyectiva, pues g (1) = g (3). Sin embargo, g es suprayectiva.

Sean ahora f : ℝ → ℝ y g : ℝ → ℝ definidas por f ( x ) = sen( x ) y g ( x ) = x 2. Observamos primero que g no es inyectiva pues g (−1) = g (1). Sin embargo, si definimos h : ℝ +→ ℝ con h ( x ) = x 2, donde ℝ += { x ∈ ℝ | x ≥ 0}, entonces h es ahora inyectiva (pero no suprayectiva pues −1 no está en la imagen de h ). Finalmente, si definimos t : ℝ +→ ℝ +con t ( x ) = x 2, entonces t es biyectiva. Algo semejante ocurre con f ( x ) = sen( x ). La función s : [−π / 2, π / 2] → [−1, 1] dada por s ( x ) = sen( x ) puede comprobarse que es una biyección.

¿Por qué es tan importante tener aplicaciones biyectivas? Esencialmente por dos razones. La primera es que una función biyectiva posee una función inversa . En el ejemplo anterior, la inversa de s es la función arcsen : [−1, 1] → [−π / 2, π / 2], mientras que la inversa de t es la función ráız cuadrada . La segunda razón es que si existe una función biyectiva entre A y B cualquier propiedad que satisfaga A desde el punto de vista de la teoría de conjuntos la va a satisfacer B , y recíprocamente. Es decir, que desde la perspectiva de conjuntos, A y B son equivalentes . Esto nos permitirá después, por ejemplo, comparar conjuntos y sus tamaños.

Si f : A → B y g : B → C , podemos crear una nueva función

g ∘ f : A → C

definida por

( g ∘ f )( a ) = g ( f ( a ))

que se llama la composiciónde g y f .

Por ejemplo, si f : ℝ → ℝ es la función f ( x ) = x 2+ 1 y g ( x ) = sen( x ), entonces ( g ∘ f )( x ) = sen( x 2+ 1) y ( f ∘ g )( x ) = sen( x ) 2+ 1.

La primera parte del siguiente ejercicio nos dice que la composición de aplicaciones es asociativa .

Ejercicio 1.4( i) Si f : A → B , g : B → C y h : C → D son aplicaciones , probar que

( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ).

(ii) Si f : A → B es un aplicación , probar que f ∘ 1 A= f y 1 B ∘ f = f .

Lema 1.3 Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones .

(a) Si f y g son inyectivas , entonces g ∘ f es inyectiva .

(b) Si f y g son suprayectivas , entonces g ∘ f es suprayectiva .

(c) Si g ∘ f es inyectiva , entonces f es inyectiva .