Gabriel Navarro Ortega - Un curso de álgebra

Dependiendo del tiempo que quedara de curso, se podrían introducir algunos de los tópicos que no incluimos como construcciones con regla y compás o extensiones ciclotómicas.

A lo largo de los distintos capítulos, proponemos diversos ejercicios que solemos utilizar en las demostraciones. La resolución de estos siempre es rutinaria y permite al alumno practicar las definiciones y entender mejor los teoremas. Al final de cada capítulo, proponemos una serie de problemas (algunas de cuyas soluciones las encontrará el lector al final del libro).

En la bibliografía, damos la referencia de algunos de los textos con los que el alumno podrá continuar estudiando álgebra.

Finalmente, este libro no hubiera sido el mismo sin la colaboración de una profesora extraordinaria de álgebra: María Jesús Iranzo. También quiero dar las gracias a Alexander Moretó y a Francisco Pérez Monasor.

Valencia, febrero de 2002

Nota a la segunda edición

Han pasado catorce años desde que apareció la primera edición de este libro y el álgebra que aquí se explica no ha cambiado en este tiempo. Pero el autor sí, y quizá también el tipo de alumnos que llega a las facultades de matemáticas. Pienso por ejemplo en mi hijo Nacho, actualmente uno de esos estudiantes. Al recomendarle mi libro, estaba convencido de que iba a apreciar, entre otras cosas, la brevedad de alguna de mis demostraciones, pero no ha sido exactamente así (aunque tampoco, creo, al contrario).

De la experiencia de explicar el contenido de este libro a mis alumnos he aprendido mucho: cuándo y cómo explicar mejor un argumento, dónde introducir exactamente determinada definición, qué conceptos es necesario que se repasen de clase en clase, etc. Desafortunadamente, el estilo del aula no se puede trasladar literalmente a un libro. Aunque algo sí.

Aparte de corregir algún error, de mejorar demostraciones, añadir nuevos teoremas, reordenar ciertas secciones, o de escribir más ejemplos y problemas, he creído conveniente escribir dos capítulos nuevos. En el primero introduzco informalmente números, conjuntos y aplicaciones, tal y como lo hago en clase. Esta introducción no pretende ser exhaustiva. También, antes de empezar la teoría de Galois, he escrito un capítulo sobre espacios vectoriales, solo con los resultados básicos que luego necesitaré. (Por tanto, la numeración de los capítulos es distinta respecto de la pasada edición). Dependiendo de los objetivos específicos que se tengan en el curso o del nivel de los estudiantes, tanto estos nuevos capítulos como otros pueden ser omitidos.

Después de estos catorce años, no estoy seguro de ser mejor matemático; pero creo que he mejorado como profesor, y he procurado que esto quede reflejado en lo que he escrito.

Es posible que no haya una tercera edición del libro, por lo que he intentado que esta sea la definitiva. Quiero dar las gracias a Noelia Rizo, Lucía Sanus, Joan Tent y Carolina Vallejo por toda la ayuda prestada.

Valencia, abril de 2016

1. Conjuntos, aplicaciones, números

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En este libro, un conjunto A es una colección de objetos a los que llamamos elementosde A . Dado un objeto x y un conjunto A , decimos que x pertenecea A si x es un elemento de A . En este caso escribimos x ∈ A . En caso contrario, decimos que x no pertenecea A , y escribimos x ∉ A .

Denotamos los conjuntos con letras mayúsculas, y los definimos especificando o describiendo con exactitud los elementos que pertenecen a ellos. Por ejemplo, A = {1, 2, 3, 4} es el conjunto cuyos elementos son 1, 2, 3 y 4. Así, escribimos 3 ∈ A y 5 ∉ A . El conjunto B = {1, {1, 2}, {1, 2, 3}} tiene tres elementos: 1, el conjunto {1, 2}, y el conjunto {1, 2, 3}. Por tanto, escribimos {1, 2, 3} ∈ B . El conjunto vacío∅ es el conjunto que no tiene elementos. Un conjunto A es finitosi tiene un número finito de elementos. En este caso escribimos | A | para denotar el número de elementos del conjunto A . Por ejemplo, |{1, 2, 3, 4}| = 4, |{1, {1, 2}, {1, 2, 3}}| = 3 y |∅| = 0.

No siempre es posible o conveniente listar todos y cada uno de los elementos de un conjunto: nos basta con que describamos con precisión los que pertenecen a él. Por ejemplo, el conjunto

C = { x ∈ ℕ | x = 2 n + 1 para algún n ∈ ℕ}

es el conjunto de los números naturales impares. En este libro, los números naturalesson los elementos del conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Algunos autores no consideran 0 como número natural, pero esta es una polémica inútil. La línea vertical “|” en la definición del conjunto C se lee “tal que”; así, decimos que C es el conjunto de los números naturales x tales que pueden escribirse de la forma x = 2 n + 1 para algún n ∈ ℕ. Algunos autores utilizan “:” en lugar de la línea vertical. Los lectores deben ser conscientes de que diferentes autores pueden utilizar notaciones distintas y de que esto no es necesariamente negativo. Volviendo a C , podríamos haber escrito

C = {2 n + 1 | n ∈ ℕ}

que es una notación más ágil.

Considaremos ahora el conjunto D = { n ∈ ℕ | 0 < n > 5} y lo comparamos con el conjunto A = {1, 2, 3, 4} definido en el segundo párrafo. Desde luego, observamos que D y A son iguales , pero necesitamos formular esto de forma precisa. Si A y B son conjuntos, decimos que A está contenidoen B si para todo a ∈ A se tiene que a ∈ B . En este caso, escribimos A ⊆ B , y decimos que A es un subconjuntode B . En caso contrario, decimos que A no está contenidoen B , y lo escribimos A ⊈ B . Los conjuntos A y B son igualessi A ⊆ B y B ⊆ A , y lo escribimos A = B . En caso contrario, escribimos A ≠ B . Observamos que ∅ ⊆ A para todo conjunto A .

En este punto, debemos sincerarnos con el lector para advertirle que esta aproximación náıf a la teoría de conjuntos tiene algunas consecuencias no deseadas, como la famosa paradoja de Russell . Es evidente que el conjunto de los números naturales no es un número natural, por lo que la expresión ℕ ∉ ℕ, aunque chocante, es cierta. Uno podría construir el conjunto X = { A | A es conjunto y A ∉ A }, y preguntarse si el propio X ∈ X o si X ∉ X . Por ejemplo, ℕ ∈ X pues ℕ ∉ ℕ. Sin embargo, si X ∈ X , esto significaría por definición que X ∉ X , y al contrario. Hemos llegado a una contradicción, pues no puede pasar algo y lo opuesto al mismo tiempo. En definitiva, parece claro que tenemos un problema con nuestra definición de conjunto.

La teoría de conjuntos puede ser desarrollada de una forma axiomática que evita este tipo de contradicciones, pero este libro no es el lugar adecuado para hacerlo. La lógica es la disciplina que se ocupa de este y de otros temas.

Por otra parte, no debemos preocuparnos en exceso, al menos en lo que aqúı se refiere. Es un hecho que la mayor parte de los matemáticos puede desarrollar una carrera exitosa utilizando nuestra definición de conjuntos sin contratiempo alguno en su vida (matemática). Digamos de una forma informal que mientras tratemos con conjuntos pequeños (el conjunto de todos los conjuntos definitivamente no es un conjunto pequeño ), no nos vamos a encontrar con grandes problemas.