Gabriel Navarro Ortega - Un curso de álgebra

17.Sea ℚ[ x ] el conjunto de los polinomios con coeficientes en ℚ.

(i) Probar que ℚ[ x ] es numerable.

(ii) Un número complejo α es algebraico sobreℚ si existe un polinomio 0 ≠ f con coeficientes en ℚ, tal que f ( α ) = 0. Utilizando que todo polinomio f de grado n tiene (como mucho) n ráıces complejas, probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

( Ayuda: Para (i), agrupar los polinomios según grado y aplicar los problemas 1.16 y 1.14 (iv). Para (ii), volver a aplicar el problema 1.16).

18.Comprobar el siguiente argumento de D. Keyt para probar que ℝ no es numerable. Definimos una aplicación inyectiva f : P (ℕ) → [0, 1 / 9] de la manera siguiente. Si S ⊆ ℕ, entonces f ( S ) es el número real 0. a 0 a 1 a 2 … a n… , donde a n = 0 si n ∉ S , y a n = 1 si n ∈ S . Por ejemplo, f (∅) = 0, f (N) = 0.11111 … = 1 / 9, f ({0, 1, 3, 5}) = 0.110101, etc.

Utilizando los teoremas 1.8 y el problema 1.10, probar que [0, 1 / 9] no es numerable. Deducir que ℝ no es numerable.

19.Probar por inducción que

1 + 3 + 5 + … + (2 n − 1) = n 2.

20.Definimos 0! = 1 y n ! = 1 · 2 … ( n − 1) · n para n > 0. Si 0 ≤ a ≤ n , definimos

Si 1 ≤ a < n , probar que

Deducir que

21.Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k !

22.( Binomio de Newton) Si a , b ∈ ℤ y n > 0, entonces

23.Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p . Probar que p divide a .

( Ayuda: Sabemos que p divide a , pero p no puede dividir a ( p − k )! k !).

24.Probar las siguientes afirmaciones:

(i) Si n es impar, entonces n 2− 1 es divisible por 8.

(ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a ) n− 1.

(iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n 2+ 2.

25.Si a , b , c son enteros no cero y mcd( a , c ) = 1, probar que mcd( a , b ) = mcd( a , bc ).

26.Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.

(i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.

(ii) Si n ∈ ℕ, probar que es irracional.

(iii) Probar que es irracional.

(iv) Probar que no se puede escribir de la forma , donde r , s ∈ ℚ.

27.Comprobar que existen números irracionales a , b ∈ ℝ tales que a b es racional.

( Ayuda: Si no es racional, volver a elevar a ).

28.Si z = a + bi , entonces el conjugado complejode z es = a − bi . El módulode z es , probar lo siguiente:

(i) z 1 z 2= z 2 z 1.

(ii) z 1( z 2 z 3) = ( z 1 z 2) z 3.

(iii) z 1( z 2+ z 3) = z 1 z 2+ z 1 z 3.

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

29.Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.

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