Gonzalo Masjuán Torres - Álgebra clásica

(i) Si n ≥ n 0, entonces n + 1 ≥ n 0+ 1, luego n ∈ I 1y n ≥ n 0, entonces p ( n ) es verdad y, por la hipótesis del teorema, p ( n + 1) es verdad, por lo tanto, ( n + 1 ≥ n 0→ p ( n + 1)). Luego ( n + 1) ∈ I 1.

(ii) Si n n 0se tiene n < n 0y, por lo tanto ( n + 1) ≤ n 0; luego:

(a) Si ( n + 1) = n 0, entonces como p ( n 0) es verdad por hipótesis se tendrá que ( n + 1) ∈ I 1.

(b) Si ( n + 1) < n 0, entonces ( n + 1 ≥ n 0→ p ( n + 1) es verdad porque su antecedente es falso, por lo tanto, ( n + 1) ∈ I 1.

Hemos demostrado que I 1es un conjunto inductivo con lo que ⊆ I 1, o sea ∀ n ∈ ( n ∈ I 1), o mejor ∀ n ∈ ( n ≥ n 0) p ( n ).

1.2.2 Segundo principio de inducción

El enunciado de este principio es el siguiente:

Sea p ( n ) una fórmula en n y n 0∈ , entonces:

(i)

[ p ( n 0) ∧ ∀ n ∈ [( n > n 0) ( p ( n 0) ∧ p ( n 0+ 1) ∧ · · · ∧ p ( n )) → p ( n + 1)]]

↓

∀ n ∈ (( n > n 0) p ( n )).

(ii)

[ p (1) ∧ ∀ n ∈ [( p (1) ∧ p (2) ∧ ··· ∧ p ( n )) → p ( n + 1)]] → ∀ n ∈ ( p ( n )).

Nota:

Es claro que (ii) es un caso particular de (i).

1.2.3 Otros conceptos

A causa de lo que estudiaremos con posterioridad, es necesario entregar algunas definiciones inductivas; éstas son:

Definición 1.2.1 Sea n ∈ se define la función factorial (!) del modo siguiente:

1! = 1 ∧ ( n + 1)! = n !( n + 1).

Definición 1.2.2 Sea f : → , se define la sumatoria desde k = 1 hasta k = n de los f ( k ) del modo siguiente:

Definición 1.2.3 Sea f : → , se define la productoria desde k = 1 hasta k = n de los f ( k ) del modo siguiente:

Definición 1.2.4 Sea p ∈ diremos que p es un número primo si:

∀ n ∈ ∀ m ∈ ( p = n · m → ( n = 1 ∨ m = 1).

Definición 1.2.5 Sean p, q ∈ diremos que p y q son primos relativos si:

(∀ r ∈ )(∀ s ∈ )(∀ t ∈ )[( p = r · s ∧ q = r · t ) → ( r = 1 ∨ r = −1)],

es decir, si el MCD ( p, q ) = 1

A continuación pasaremos a aplicar los principios de inducción resolviendo algunos problemas.

1.3 Problemas resueltos

Problema 1.3.1 Para el natural fijo n, calcular la suma:

S = 1 + 2 + 3 + ·· · + n.

Solución:

Se tiene:

y sumando miembro a miembro estas dos igualdades, se obtiene:

2 S = ( n + 1) + ( n + 1) + ( n + 1) + ·· · + ( n + 1),

o sea:

2 S = n ( n + 1),

de donde:

S = 1 + 2 + 3 + ··· + n = ,

que es el resultado pedido.

Nota:

En el problema siguiente, haremos ver que esta fórmula es válida para todo número natural.

Problema 1.3.2 Demostrar que:

Solución: