Gonzalo Masjuán Torres - Álgebra clásica

hemos aceptado que estos últimos son primos relativos.

Problema 1.3.10 Sea n ∈ , se considera yn = (3 + ) n+ (3 − ) n. Demostrar que:

(1) yn + 1= 6 yn − 4 yn −1.

(2) yn es entero.

(3) El siguiente entero mayor que (3 + ) n es divisible por 2 n.

Solución:

Para (1)

Para (2)

y 1= (3 + ) + (3 − ) = 6 es entero.

y 2= (3 + ) 2+ (3 − ) 2= 2(9 + 5) = 28 es entero.

Supongamos que y 1, y 2, ·· · , yn son enteros; pues bien, como yn + 1= 6 yn −4 yn −1 se sigue que yn + 1es entero.

Para (3)

Si n = 1 el siguiente entero mayor que (3 + ) es 6, que es divisible por 2 1= 2. Si n = 2, el siguiente entero mayor que (3 + ) 2es 28, que es divisible por 2 2= 4. Ahora como (3 − ) nes decimal (o sea ∈]0, 1[), se deduce que yn es el siguiente entero mayor que (3 + ) n. Si yn es divisible por 2 n e yn - 1es divisible por 2 n−1, entonces por (1) se tendrá yn + 1= 6 yn − 4 yn - 1= 6 · 2 n p − 4 · 2 n−1 q = 2 n + 1(3 p − q).

Problema 1.3.11 Si a 1= −5, a 2= −26 y

∀ n ≥ 3 : an = 5 a n−1− 6 a n−2+ 5 · 2 n−2,

entonces:

∀ n ∈ : an = 3 · 2 n− 2 · 3 n− 5 · n · 2 n−1.

Solución:

En este caso se tiene:

a 1= 3 · 2 − 2 · 3 − 5 · 1 · 2 0= −5,

y también:

a 2= 3 · 2 2− 2 · 3 2− 5 · 2 · 2 1= −26.

Por otro lado, resulta:

Problema 1.3.12 Demostrar que:

∀ n ∈ : 83 4n− 2 · 97 2n+ 1

es divisible por 16.

Solución:

Para n = 1 83 4− 2 · 97 2+ 1 = 47.458.321 − 18818 + 1 = 47.439.504 = 16 · 2.964.969

Se supone para n

83 4n− 2 · 97 2n+ 1

es divisible por 16.

Se demuestra para n + 1

83 4n + 4− 2 · 97 2n + 2+ 1

es divisible por 16.

Demostración:

Problema 1.3.13 Demostrar que si n es impar, entonces 24 divide a:

n ( n 2− 1)

Solución:

Para n = 1, que es impar

1(1 2− 1) = 0

y 0 es divisible por 24.

Se supone para n = 2 m − 1

(2 m − 1)[(2 m − 1) 2− 1]= 4 m (2 m − 1)( m − 1)es divisible por 24.

Se demuestra para n = 2 m + 1 (2 m + 1)[(2 m + 1) 2− 1]= 4 m (2 m + 1)( m + 1) es divisible por 24.

Demostración:

Problema 1.3.14 Demostrar que:

Solución:

Para n = 1

Se supone para n

Se demuestra para n + 1

Demostración:

luego:

Problema 1.3.15 Demostrar que:

Solución:

Para n = 1

Se supone para n

Se demuestra para n + 1 que: