Salvador Mafé Matoses - Manual de Física Estadística

Problemes

A 1. S'atribueix a Huxley la frase següent: «…sis micos, posats a escriure d'una manera no intel·ligent sobre màquines d'escriure durant milions d'anys, arribarien a escriure tots els llibres que hi ha al Museu Britànic…». Demostra, introduint nombres raonables per a les magnituds involucrades, que aquesta afirmació és incorrecta.

B 1. Descriu totes les possibles distribucions de N molècules amb una energia total E = 5 ε, si els estats disponibles tenen energies 0, ε, 2 ε, 3 ε, 4 ε i 5 ε. ¿Quina és la distribució més probable? Pren per a N els valors 50, 10 3i 10 6.

B 2. Calcula el nombre de disposicions g que es poden obtindré col·locant N objectes iguals en n cel·les de manera que: à) puga havern'hi diversos en cada cel·la (N pot ser major que n ) i b) només hi haja com a màxim un objecte per cel·la (N és menor que n). Repeteix els càlculs suposant que els objectes són distints.

A 2. a) Calcula el nombre de disposicions que es poden obtindré distribuint 10 partícules distingibles en 3 nivells d'energia, de tal manera que n 0= 4, n 1= 5, n 2= 1 si les degeneracions dels nivells són g 0= 1, g 1= 2 i g 2= 3.

b) ¿Com es modificaria el nombre anterior si tots els nivells foren no degenerats? Nota: Un nivell i té una degeneració gi si hi ha gi estats (que poden acomodar una o més partícules) de la mateixa energia ε i.

Sol.- a) 120960, b) 1260.

A 3. En la fabricació d'un instrument electrònic es troba que la probabilitat W(n) que l'instrument presente n defectes al cap de sis mesos és W (0) = 0.1, W (l) = 0.4, W (2) = 0.25, W (3) = 0.15, W (4) = 0.08 i W (5) = 0.02.

a) ¿Quin és el nombre mitjà de defectes de tots els instruments en els primers sis mesos?

b) Si tu compres un d'aquests instruments, ¿quin és el nombre de defectes més probable que tindrà el teu instrument al cap de sis mesos?

c) Si l'instrument té una garantia de sis mesos, ¿quin és el nombre (el de a o el de b) que determina les despeses a realitzar pel fabricant?

Sol.- a ) 1.77, b) 1 i c) a.

B 3. En el joc de la ruleta russa (no recomanat) s'introdueix un sol cartutx en el tambor d'un revòlver. Es fa girar el tambor i es prem el gallet tot recolzant el revòlver en el pols.

a) ¿Quina és la probabilitat de sobreviure després de N vegades?

b) ¿Quina és la probabilitat que el tret es produesca precisament l' N -èsima vegada?

c) ¿Quin és el nombre mitjà de jugades que es té oportunitat de prémer el gallet?

A 4. Un borratxo deixa un fanal i comença a caminar fent passos d'igual longitud cap a ambdós costats. ¿Quina és la probabilitat que després de N passos torne al fanal?

Sol.- P = 0 si N és imparell, i si N és parell.

B 4. Dos borratxos parteixen de l'origen amb les mateixes probabilitats en els seus passos, d'igual longitud. Calcula la probabilitat que tornen a trobarse després de N passos.

A 5. Una bateria de fem V es connecta a una resistència R. La bateria és vella, de manera que existeix una probabilitat p que un element tinga el seu valor normal v de fem i (1 - p)que la seua fem siga nul·la per curt circuit intern. Suposant independència estadística, calcula la potència mitjana dissipada en la resistència.

Sol.- Considera una distribució binòmia; obtindràs .

A 6. Suposa que les errades tipogràfiques són aleatòries. Si un llibre de 600 pàgines té 600 d'aquests errors, calcula la probabilitat

a) que no hi haja errors en una pàgina i

b) que una pàgina continga, almenys, tres errors.

Ajuda: Demostra que aquesta distribució binòmia es pot aproximar per la de Poisson.

Sol.- a) 0.3679 i b) 0.0803 .

A 7. Un sistema de N partícules no interactives d'espín 1/2 i moment magnètic (i s'introdueix en un camp B dirigit en el sentit de l'eix. La probabilitat que el moment estiga orientat paral·lelament a B és p = 0.51 i que l'orientació siga antiparal lela és q = 0.49. Troba la imantació mitjana i la relació Δ * M/M. Considera els casos N = 100 i N = 10 24.

Sol.- .

B 5. Una molècula de gas recorre iguals distàncies mitjanes λ entre col·lisions amb la mateixa probabilitat en qualsevol direcció. Després d'un total de N desplaçaments, ¿quin és el valor mitjà dels quadrats dels desplaçaments totals de la molècula des del seu punt de partida?

A 8. La densitat de probabilitat p (p) en l'espai de moments p d'un sistema donat és constant si p 2≤ pm2 i nul·la en un altre cas. Troba els valors mitjans

Sol.- .

A 9. Una partícula té la mateixa probabilitat d'estar en un punt d'una: a) circumferència i b) esfera. Triant en cada cas un eix que passe pel centre, anomenem 0 l'angle que forma el segment que uneix la partícula amb l'esmentat eix. ¿Quina és la probabilitat que aquest angle estiga comprès entre θ i θ + dθ?

Sol.- a) dθ/2π, b) sinθdθ/2 .

B 6. La velocitat v dels cotxes en una carretera ve donada per la distribució

w(v) = A v exp (- v / v 0) (0 ≤ v < ∞)

on A i v 0són constants.

a) Determina A en termes de v 0.

b) Una unitat de radar pot diferenciar només velocitats que diferesquen en quantitats petites δv. ¿Al voltant de quin valor és més probable trobar la velocitat d'un cotxe particular?

c) ¿Quina és la probabilitat que la unitat de radar trobe de fet un cotxe en la dita regió?

d) ¿Quina és la velocitat mitjana dels cotxes?

e) Admet que el nombre d'accidents que pot tindré un cotxe en un mes és proporcional a la seua velocitat. Anomenem-lo Bv , per exemple, sent-hi B una constant. ¿Quin és el nombre mitjà mensual d'accidents en l'esmentada carretera, suposant que la fan servir N cotxes?