Bruno D´Amore - Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Apropósito de esto, tenemos más de una interpretación; escojo, por ahora, dos:

• la de Boero (1986), según la cual la situación problemática es «el significado del texto» (mientras que el texto es «un sistema de signos» que la codifica);

• la de Borasi (1984), según la cual la situación problemática es «el contexto en el cual el problema propuesto tiene sentido».

Propongo una definición más amplia, en alternativa:

la situación problemática es el sistema de las competencias reales en las cuales se puede imaginar todo aquello descrito en un texto y su significado (semántica), dentro de la experiencia del niño individual (el sistema es específico para el problema dado).

Con esta definición, la situación problemática recuperaría aspectos semánticos, pragmáticos y experienciales.

El lector debe aceptar el hecho que en esta materia no encontrará definiciones precisas, como en Matemática; aquí se delinean tesis y conceptos en la manera más detallada posible, llevando al examen de la propia idea, no demostraciones o pruebas irrefutablemente unívocas, sino solicitudes traídas desde la experiencia personal de estudiosos o investigadores de la Didáctica de la Matemática.

Llegaré a proponer varios modelos relacionados con la resolución de problemas. Pero es muy temprano; para poder describirlos necesito de otros materiales.

Aquí quiero todavía recordar la importancia que cobra, tanto en la resolución de los ejercicios como (y aún más) en la de los problemas, la formalización del lenguaje común en términos matemáticos. Una vez el texto es bien entendido y se hace una imagen mental (personal), puede ser útil (y, de hecho, en la mayoría de los casos lo es) “matematizar” la situación. Muy a menudo, esto implica la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.

Por ejemplo, en el ejercicio de los huevos que compró Juanito, la solución es, formalmente: 600:30–3. En el caso de la conjetura de los números pares, se trata de demostrar que:

(∀x)(x=2n /\ n>1)→[(∃y)(∃z)(x=y+z) /\ (∀h)(∀k) (¬∃m)(m≠l /\ m≠y /\ y=mh) /\ (¬∃p)(p≠l /\ p≠z /\ z=pk)] [x, y, n, z, h, k, m, p ∈ N]

La primera formulación aparece en términos aritméticos muy elementales; la segunda en términos de formalización lógica, un poco más compleja.

Pero entonces ¿Qué es un problema? ¿Existe una definición?

No puedo más que recordar (por ahora) la célebre frase de uno de los más conocidos estudiosos de la resolución de problemas matemáticos, George Polya (1945):

Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, un camino para reaccionar ante un obstáculo, para lograr un fin que no sea alcanzable inmediatamente. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del género humano: resolver problemas se puede considerar la actividad más característica del género humano.

Propongo también la afirmación de Karl Duncker (1945), quien evidencia exclusivamente el objetivo:

Surge un problema cuando un ser viviente tiene una meta, pero no sabe cómo alcanzarla.

[Una colección de respuestas a la pregunta «¿Qué es un problema?» se encuentra en Ferri (1989)].

Como se ve, no hay definiciones sino precisiones, puntualizaciones, clarificaciones: no hay problema si no hay una situación problemática que cree una pregunta, cuya la respuesta sea, por alguna razón, causa de dificultad.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, además de los textos ya citados, hice uso también de (Antiseri, 1985; Borasi, 1984, 1986a; Duncker, 1969; Polya, 1954; Petter, 1985; Aebli, 1961).

1.2. Resolución de problemas, formación de conceptos y “teoremas en acto”

Con ese título, esta sección requeriría un libro por sí sola; empezaré a tratar esta problemática aquí para después retomarla varias veces más adelante, de manera más o menos explícita y refiriendo textos oportunos.

En una didáctica moderna, no se requiere un comportamiento pasivo por parte del alumno: «Haz esto y esto en una situación de este tipo»; en cambio, se requiere y se favorece un conocimiento activo que se transforme en “saber qué hacer” (lo podemos llamar “eficiencia”). Todos están sustancialmente de acuerdo con el hecho que la solución de problemas y el saber escoger cómo comportarse en situaciones problemáticas son una manera excelente de formar conceptos. Pero, concretamente, es muy difícil establecer lo que esto significa verdaderamente.

Debemos a Gérard Vergnaud (1985a) un muy buen intento por explicar este punto y en él me inspiro para lo que sigue.

Es bien sabido que, para explicar el modelo de desarrollo mental de los niños, Jean Piaget recurre a varios esquemas, entre los cuales recuerdo el esquema de “permanencia del objeto”. Sus experimentos son famosos; por ejemplo, moviendo de manera evidente de un lugar A a un lugar B un objeto escondido en ambos casos (por ejemplo, A debajo de un tapete y B debajo de una toalla), durante cierto período de tiempo, un niño muy pequeño seguirá buscando el objeto en el punto del cual fue movido. El niño solo entiende lentamente lo que es una especie de principio general de permanencia; tal permanencia, por ejemplo, tendrá que ver, más adelante, con el valor cardinal de un número, cantidad, longitud, amplitud, masa, (…) Al lado de la permanencia de un objeto, se considera la invariabilidad de ciertas relaciones de tipo más abstracto y, por lo tanto, capaces de constituir una conquista más tardía. Por ejemplo, la relación “ser hijo de” que es bien comprendida por el niño si la pareja ordenada es (yo; mi papá), y es rechazada a largo plazo si la pareja se vuelve (mi papá; mi abuelo). Tal permanencia de las relaciones (que se llama “invariante relacional”) es, por así decirlo, la base de la comprensión de los verdaderos “teoremas”, por ejemplo:

Si A es menor que B y B es menor que C, entonces A es menor que C.

Aunque se haya comprendido plenamente que «A es menor que B» y que «B es menor que C», permanece el hecho que la afirmación «A es menor que C» puede ser reconocida haciendo la prueba (comparando, donde sea posible, A y C), o “deduciéndola” de las dos primeras. Sabemos que se trata de la propiedad transitiva de la relación de orden “es menor que”: si se verifica de la primera forma (heurística) no es más que entrar en contacto con una invariante relacional; pero si se “deduce” de la segunda forma (lógica), entonces se puede hablar de un teorema en acto, como propone Vergnaud.

Un buen ejemplo que he oído usar de Vergnaud mismo en una escuela de verano es el de un niño que debe decidir cuántos puestos organizar en la mesa para los invitados; algunos invitados están dentro de la casa (a), otros están en el jardín (b); los puestos en la mesa deben ser entonces a+b. Se trata de un teorema en acto: el niño ha aplicado una regla de la cardinalidad:

card (X U Y) = card X + card Y

cuáles que sean los conjuntos X y Y con X∩Y=∅.

Es claro que la toma de conciencia de tales teoremas en acto constituye una formación genuina de conceptos y que la situación más natural para hacer emerger tales teoremas en acto es la resolución de problemas (mejor si son concretos).

Por ende, se trata, entre otras cosas, de una manera activa y deductiva de ver la resolución de problemas.

Nota bibliográfica

Para la redacción de esta sección, he usado (Furth, Wachs, 1977; Petter, 1984; Vergnaud, 1981a, 1985a, 1990a, 1990b).

Para una crítica a la posición descrita por Piaget, ver (Donaldson, McGarrigle, 1974; Freudenthal, 1973; McGarrigle, Grieve, Hughes, 1978).

Para un estudio detallado y moderno sobre la diferencia entre ejercicio y problema y sobre el aprendizaje estratégico en un contexto teórico más amplio (Fandiño Pinilla, 2008).