Bruno D´Amore - Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Tengo plena certeza que este texto será utilizado con éxito tanto de los investigadores en didáctica de la matemática como de los profesores, que desean entender profundamente el complejo y fascinante mundo de la resolución de problemas de matemática en la praxis didáctica.

Silvia Sbaragli

Premisa

Con algo de titubeo me dispongo a presentar al público el argumento de la reflexión de estas últimas décadas. El titubeo está ciertamente legado al hecho que mi formación de base es la de matemático, mientras que los temas de investigación en los cuales me adentré están en los confines de la pedagogía y de la psicología. Por otro lado, ¿cómo es posible ocuparse de la didáctica y dejar por fuera la pedagogía y la psicología, como quisieran algunos? Me parece una posición un poco miope y deletérea. Sin embargo, hubiese podido reservar para mí el fruto de mis estudios y de mis reflexiones y no llegar a proponer estos resultados, si no hubiese motivos de fondo que me parecieran válidos y que expongo a continuación.

Los motivos que me llevaron a dedicar (mucho) tiempo a este volumen son tres.

Primer motivo, banalmente editorial. Mi proyecto Ma.S.E.1 tuvo en Italia un éxito tal en ventas que el pedido explícito, más de una vez, por parte de los lectores, de afrontar el tema “Problemas” no se podía eludir. En realidad, en el curso del Ma.S.E., hay más de una referencia a esta importante actividad. Pero hacía falta un discurso específico, lo más coherente y completo posible.

Segundo motivo, más profundo. No hay quien, ocupándose a cualquier nivel de la Didáctica de la Matemática, no reconozca en la actividad de resolución de problemas una característica “fuerte”, central: hacer Matemática es en primera instancia afrontar problemas. Por otro lado, el Núcleo de Investigación de la Matemática de Bolonia (del cual soy fundador y responsable director científico desde 1984 hasta hoy) hace años se ocupa de una sub-sección particular propia de esta problemática: la resolución de problemas con estrategias ingenuas (es decir no formales). Llegó el momento de exponer las ideas que se encuentran en la base de esta investigación y algunos resultados en forma explícita y difusa.

Tercer motivo, más personal. En cuanto matemático profesional involucrado en la investigación en Didáctica de la Matemática, decidí graduarme en Pedagogía; por lo tanto ¡tenía que escribir una tesis de grado! Este tema tuvo una gran acogida por parte de un querido amigo mío, el famoso pedagogo Franco Frabboni quien fue mi director de tesis. Mi tesis de grado es un subconjunto (muy reducido) precisamente de este volumen2.

El Ma.S.E. ha tenido varias aplicaciones concretas, más allá de aquellas que he seguido en primera persona; es obvio que un producto editado en miles de copias se salga de las manos del autor y que cada lector se apropie de él a su manera.

Otro impulso decisivo llegó del sector didáctico en el cual se mueve el Núcleo de Bologna, es decir los “Laboratorios de Matemática”. Como ya he ampliamente escrito en otras ocasiones, también durante los laboratorios la actividad tiene como eje principal la resolución de problemas, por lo que una puntualización de tipo teórico se vuelve esencial3.

Buscaré inmediatamente un fundamento autorizado para dar importancia a este tema:

Una vez adquiridas ciertas reglas, el hombre puede usarlas con diferentes objetivos en su relación con el ambiente. Puede también hacer algo más importante: puede pensar. Esto significa fundamentalmente estar en capacidad de combinar las reglas aprehendidas a una gran variedad de reglas nuevas de orden superior. Esto se puede hacer por auto estimulación y también respondiendo a diversos tipos de estimulación del ambiente. Mediante el proceso de combinación de reglas viejas y reglas nuevas, la persona resuelve problemas que le son nuevos, adquiriendo así un patrimonio aún mayor de nuevas capacidades.

De esta manera se expresa R. M. Gagné (1973, p. 83). Y, del mismo modo, más adelante (p. 86):

El problem solving se resuelve a partir de la adquisición de nuevas ideas que multiplican la aplicabilidad de las reglas ya aprehendidas. Como sucede en otras formas de aprendizaje, ésta se funda sobre las capacidades ya obtenidas; y no se ubica en el vacío, en la ausencia de cada conocimiento ulterior. La condición más importante para impulsar al sujeto a pensar y asegurarse de tener algo en lo cual pensar. El aprendizaje mediante problem solving lleva a nuevas capacidades ulteriores del pensamiento.

Sin abandonar a este autor (pp. 257-58):

Ciertamente una de las mayores razones para aprender reglas es su uso en la resolución de problemas. La actividad de problem solving es de tal suerte una extensión natural del aprendizaje de reglas, en la cual la parte más importante del proceso se desarrolla al interior del sujeto. La resolución puede ser guiada por una cantidad mayor o menor de comunicación verbal, proveniente del exterior, pero las variables más esenciales son internas. Es particularmente importante notar que los componentes que parecen posibilitar el problem solving son las reglas obtenidas precedentemente. El problem solving puede ser concebido como un proceso de descubrimiento por parte del sujeto de una combinación de reglas ya notas que éste puede aplicar para alcanzar la solución de una situación nueva y problemática. Sin embargo, no se trata solo de aplicar las reglas ya sabidas. El proceso también genera un nuevo aprendizaje. El sujeto está bajo o se encuentra en una situación problemática y recuerda las reglas precedentemente aprehendidas en el tentativo de encontrar una “solución”. Durante este proceso del pensamiento, éste probará cierto número de hipótesis verificando su aplicabilidad. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adaptan a la situación, no solamente ha “resuelto el problema”, sino que también ha obtenido algo nuevo.

“Regla” sin embargo se debe entender en este contexto en sentido más amplio del que puede comúnmente venir a la mente, como veremos difusamente a lo largo del libro. Todavía una citación de la misma fuente (p. 265):

[…] la resolución de un problema jamás surge de la nada, sino que depende siempre de la experiencia precedente del sujeto.

Por lo tanto, la resolución de los problemas (o, como se dice habitualmente, también en los países de idioma español, el problem solving) es una condición óptima para el aprendizaje. Ésta es la tesis que acepto, aunque tendré que entrar en particularidades delicadas para analizarla profundamente, lo que requerirá varias decenas de páginas.

Sin embargo, hay que decir explícitamente que hasta aquí el problem solving se ha descrito de manera genérica (…) Surge espontáneamente la pregunta: ¿Qué caracteriza el problem solving en Matemática? En otros términos: resolver problemas no es una característica de las actividades matemáticas únicamente y nada nos impide pensar esta misma problemática en otros campos. Se pueden proponer dos tipos de actitudes:

1. el “contenido” es el que caracteriza; en esta acepción, “nuestro” problem solving es matemático porque nos ocupamos de problemas (a veces ejercicios) en el campo de la Matemática;

2. la “forma” en la cual el solucionador se propone es la que caracteriza; en esta acepción, paradójicamente, podremos tener problem solving matemático con contenidos no necesariamente matemáticos, o problem solving no matemático, pero con contenidos matemáticos.

La primera posición parece un poco débil, pero la segunda es difícilmente definible.

La posición asumida en el contexto de las investigaciones del Núcleo de Bolonia (y la mía personal) emergerá, lentísimamente, de las páginas de este libro y se trata de una especie de término medio entre las dos. Hay quien se ocupa del problem solving poniendo toda la atención a los procesos de “descubrimiento” y que parece al final más interesado en la actividad de resolución de ejercicios y no de problemas en el verdadero sentido de la palabra. Nos parece que se puede “descubrir” algo también frente a un ejercicio y que las “condiciones alrededor” sean las que determinan si se trata de descubrimiento o de otra cosa. Por otro lado, hay solucionadores de problemas para quienes el contexto es tal que su actividad no comporta de hecho descubrimiento sino mera aplicación.