Carlos Castillo - Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios

a. En un colegio se seleccionarán a 36 escolares de secundaria, y si el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales supera los 260 minutos se realizará una charla informativa dirigida a los padres de familia, ¿cuál es la probabilidad de que se realice dicha charla?

b. En una muestra de 64 escolares de secundaria se determinó una probabilidad de 0.91 de que el tiempo promedio semanal de acceso a las redes sociales sea de a lo más k minutos, ¿cuál es el valor de k ?

Solución

a. Sea : Media muestral del tiempo semanal de acceso a redes sociales.

n = 36.

De acuerdo a los datos del problema, se tiene

Luego, la probabilidad solicitada es

P ( > 260) = 0.02275

Interpretación:la probabilidad de que se realice la charla, es decir, que la media muestral sea mayor a 260 minutos, es de 0.02275 aproximadamente.

b. Sea : Media muestral del tiempo semanal de acceso a redes sociales. n = 64.

De los datos del problema, se tiene

El valor de k solicitado verifica la siguiente relación: P ( < h ) = 0.91

Al estandarizar, resulta

Por consiguiente:

Interpretación: El valor de k es de 255 minutos aproximadamente.

8.2 Distribución de la media muestral con varianza poblacional desconocida

Sea una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal : N (μ; σ 2), donde la varianza poblacional σ 2es desconocida. Luego, la variable aleatoria

tiene una distribución t de Student con ( n - 1) grados de libertad.

Nota.Téngase presente que la distribución de la variable X debe ser normal , de otro modo este resultado es inaplicable.

Ejemplo 11

Si el uso de almacenamiento (tamaño en disco) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios, mediante su smartphone , presenta una distribución normal con media 570 megabytes (MB), y con una varianza poblacional desconocida pero que se ha estimado en (60 MB) 2, calcule la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas durante un mes por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB.

Solución

Sea : Media muestral del tamaño (en MB) de las fotografías capturadas durante un mes por parte de los jóvenes universitarios. n = 40.

Dado que:

Luego, la probabilidad solicitada es

Interpretación: la probabilidad de que la cantidad total de fotografías capturadas por parte de 40 jóvenes universitarios tengan un tamaño de por lo menos 23 000 MB es de 0.3, aproximadamente.

8.3 Distribución de una proporción muestral

Sea x 1, x 2,…, x n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población de Bernoulli : Be (1;π), donde π es la proporción de éxitos en la población. La proporción de éxitos en la muestra se encuentra definida como:

, donde Y es el número de éxitos en la muestra.

Nota.Una variable aleatoria Bernoulli asume únicamente los valores 0 y 1. Las características de la distribución de la proporción muestral son:

Si n es suficientemente grande, se tiene:

Nota.La desviación estándar de una distribución muestral se denomina también error estándar. Para la distribución de la proporción muestral el error estándar es:

Ejemplo 12

Una reconocida marca de dispositivos móviles asegura que en Lima metropolitana, 3 de cada 10 tabletas adquiridas en un centro comercial ubicado en Santiago de Surco son de dicha marca.

a. Para una muestra conformada por las próximas 60 tabletas vendidas en el centro comercial ubicado en Santiago de Surco, calcular la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35.

b. ¿Cuántas tabletas deben ser seleccionadas para que la proporción de tabletas de la marca en estudio difiera de su proporción poblacional en a lo más 0.08, con una probabilidad de 0.90?

Solución

a. Sea X una variable dicotómica:

Para la muestra de tabletas seleccionadas, se tiene