Carlos Castillo - Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios

Si y son las varianzas muestrales asociadas a dos muestras aleatorias independientes de tamaños n 1y n 2, seleccionadas con reemplazo de dos poblaciones normales y respectivamente, entonces la variable aleatoria

tiene una distribución F con ( n 1- 1) y ( n 2- 1) grados de libertad.

Ejemplo 17

Los montos registrados en las boletas de venta en una tienda de helados presentan una desviación estándar poblacional de S/. 3.6 en su local de Santa Anita, y una desviación estándar poblacional de S/. 4.5 en su local de Santiago de Surco. Si se seleccionan muestras aleatorias de 33 y 28 clientes de los locales de Santa Anita y Santiago de Surco, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral de los montos registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita sea menor a la de los clientes de Santiago de Surco?

Solución

X 1: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita.

X 2: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santiago de Surco.

Dado que:

Luego, la probabilidad solicitada es

9.4 Diferencia de proporciones muestrales( p 1- p 2)

Sean x 1, x 2,..., x n1e y 1, y 2,..., y n2dos muestras aleatorias, con reemplazo, independientes de tamaño n 1y n 2, respectivamente, seleccionadas de dos poblaciones independientes de Bernoulli Be (1; π 1) y Be (1; π 2), donde π 1y π 2son las proporciones poblacionales de éxito, respectivamente. Si:

son las proporciones muestrales respectivas; entonces la variable aleatoria

( p 1- p 2) tiene distribución:

Propiedades:

a) μ (p1 - p2)= E ( p 1- p 2) = E ( p 1) - E ( p 2) = π 1- π 2

b)

c) Para n 1y n 2suficientemente grandes, la distribución de la variable aleatoria es:

Ejemplo 18

Un taller mecánico cuenta con dos locales, ubicados en los distritos de Mira-flores y Santiago de Surco.

• En el local de Miraflores se estima que poblacionalmente 1 de cada 4 vehículos atendidos funcionan a gas natural vehicular.

• En el local de Santiago de Surco se estima que poblacionalmente 1 de cada 5 vehículos atendidos funcionan a gas natural vehicular.

Se estima que para el fin de semana se atenderá a 48 vehículos en el local de Miraflores y a 54 vehículos en el local de Santiago de Surco. Determine la probabilidad de que la proporción muestral de vehículos que funcionan a gas natural atendidos en el local de Miraflores supere en por lo menos 0.10 a la proporción muestral de vehículos que funcionan a gas natural atendidos en el local de Santiago de Surco.

Solución

p 1: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Miraflores, que funcionan a gas natural.

p 2: Proporción muestral de vehículos, atendidos en el local de Santiago de Surco, que funcionan a gas natural.

Dado que:

donde

Luego, la probabilidad solicitada es P ( p 1- p 2≥ 0.10) = 0.2732

PROBLEMAS RESUELTOS

1.En cada uno de los casos que se presentan a continuación, defina y/o identifique adecuadamente, de acuerdo al contexto del caso, según se solicite:

2.El gerente de una empresa constructora ha programado la realización de un estudio dirigido a los propietarios de departamentos del conjunto habitacional El Robledal, el cual fue entregado en su totalidad a sus propietarios hace un poco más de un año. El conjunto habitacional se encuentra compuesto por doce edificios de dos tipos distintos. A continuación se presenta una descripción del conjunto habitacional: