Carlos Castillo - Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios

proporción muestral de tabletas de marca en análisis.

Luego, la probabilidad solicitada es: P ( p > 0.35) = 0.1992

Interpretación: la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35 es de 0.1992 aproximadamente.

b. Dado que: , entonces, para calcular el valor de n que verifica que

P (| p - π| ≤ 0.08) = 0.90, se tiene

Como Z ~ N (0;1) es simétrica con respecto al origen, entonces la probabilidad de ambas colas es igual a 0.10. Véase figura 16.

Luego:

Interpretación:Se deben seleccionar 89 tabletas.

8.4 Distribución de la varianza muestral

Sea x 1, x 2,…, x n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal : N (μ; σ 2), y sea:

Entonces, la variable tiene una distribución Ji cuadrado con ( n - 1) grados de libertad.

Propiedades:para una muestra aleatoria seleccionada de una población con distribución normal : N (μ; σ 2) se tiene:

Ejemplo 13

Los montos de las transacciones realizadas en una agencia de barrio de una reconocida entidad bancaria, presentan una distribución normal con una desviación estándar poblacional de S/. 45.

a. ¿Cuál será la probabilidad de que las 37 próximas transacciones presenten una desviación estándar muestral de a lo más S/. 51?

b. Sobre la base de una muestra de 46 transacciones se ha estimado que existe una probabilidad de 0.15 de que la varianza sea de por lo menos k soles 2. Determine el valor de k .

Solución

a. Sea X : Monto (en S/.) de la transacción realizada en una agencia de barrio, y X ~ N (μ; 45 2), n = 37

Como

Luego, la probabilidad solicitada es

b. En este caso, se tiene:

De acuerdo a los datos del problema se tiene: P ( S 2≥ k ) = 0.15

De donde:

9. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DOS MUESTRAS

Cuando se trata de comparar dos poblaciones de acuerdo a una característica de interés, se comparan las muestras aleatorias tomadas de ambas poblaciones.

9.1 Diferencia de medias muestrales con varianzas poblacionales conocidas

Sean: dos variables aleatorias independientes. Si se seleccionan muestras con reemplazo de tamaño n x y n y , y se obtienen las distribuciones de sus medias muestrales, se tiene:

La distribución de la diferencia de las medias muestrales está dada por:

Donde la esperanza y varianza de esta diferencia son:

Nota.La expresión representa a una variable aleatoria.

Ejemplo 14

Los ladrillos para techo producidos en las plantas A y B de la empresa Blokart presentan medias y varianzas poblacionales conocidas: μ 1= 9.25 kg, = σ 1= 0.08 kg, y = μ 2= 9.30 kg y σ 2= 0.06 kg. Se seleccionan 42 y 40 ladrillos para techo producidos en las plantas A y B, respectivamente; calcule la probabilidad de que la diferencia del peso promedio de los ladrillos obtenidos en las muestras de las plantas A y B difiera en a lo más 30 gramos de la diferencia de medias poblacionales.

Solución

X 1: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ 1= 9.25, σ 1= 0.08, n 1= 42.

X 2: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ 2= 9.30, σ 2= 0.06, n 2= 40.

La distribución de la diferencia de medias muestrales es:

( 1- 2) ~ N (– 0.05;0.01557 2)

donde

Luego, la probabilidad solicitada es: P (| 1- 2) - (μ 1- μ 2)|≤ 0.03); 0.03 kg, equivalente a 30 gramos.