John Farndon - Big Ideas. Das Mathematik-Buch

»Die Geometrie ist Erkenntnis des immer unveränderlichen Seins. «

Platon Politeia (Der Staat) , Buch VII

Wesentlich für jedes axiomatische System ist es, genug Axiome (bei Euklid ebenfalls Postulate) zu haben, um jeden wahren Satz beweisen zu können, aber überflüssige Axiome zu vermeiden, die bereits aus anderen folgen. Viele fragten sich, ob das Parallelenpostulat als Satz durch Euklids Definitionen, Axiome und andere vier Postulate ableitbar ist, denn dann wäre es überflüssig. Zeitgenossen Euklids und spätere Gelehrte versuchten erfolglos, einen solchen Beweis zu finden. Schließlich erkannte man im 19. Jahrhundert, dass das fünfte Postulat notwendig für die euklidische Geometrie und unabhängig von den anderen ist.

Die Elemente behandeln auch die sphärische Geometrie, die von zwei Nachfolgern, Theodosios von Bithynien und Menelaos von Alexandria, weiterverfolgt wurde. Euklids Definition eines Punkts bezieht sich auf einen Punkt in der Ebene, aber ein Punkt kann auch als Punkt auf einer Kugeloberfläche aufgefasst werden.

Wie lassen sich nun Euklids Postulate auf die Kugeloberfläche übertragen? In der sphärischen Geometrie gelten andere Axiome als Euklids. Die Geometrie in Euklids Elementen nennt man heute euklidische Geometrie. Die sphärische Geometrie dagegen ist das erste Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie. So ist das Parallelenpostulat dort nicht wahr, denn alle »Geraden« (Großkreise auf der Kugel) schneiden sich und in der hyperbolischen Geometrie können sie sich sogar unendlich oft schneiden.

Euklid

Zeit und Ort von Euklids Geburt sind unbekannt, und wir wissen kaum etwas über sein Leben. Er studierte vermutlich an der Akademie in Athen, die von Platon gegründet worden war. Im 5. Jahrhundert n. Chr. schrieb der Grieche Proklos in einem Text zur Geschichte der Mathematik, Euklid habe zur Regierungszeit von Ptolemaios I. Soter (um 323–285 v. Chr.) in Alexandria gelehrt.

Euklids Werke behandeln zwei Gebiete: elementare Geometrie und allgemeine Mathematik. Neben Elementen schrieb er über Perspektiven, Kegelschnitte, sphärische Geometrie, Astronomie, Zahlentheorie und über die Wichtigkeit mathematischer Genauigkeit. Viele Werke, die man Euklid zuschreibt, gingen verloren. Mindestens fünf sind aber bis heute erhalten. Euklid starb zwischen Mitte des 4. und Mitte des 3. Jahrhunderts v. Chr.

Hauptwerke

Stoicheia (Elemente)

Konika (Kegelschnitte)

Katoptrika

Phainomena (Phänomene)

Optika (Optik)

IM KONTEXT

SCHLÜSSELZIVILISATION

Griechenland(um 300 v. Chr.)

TEILGEBIET

Zahlensysteme

FRÜHER

um 18 000 v. Chr.In Zentralafrika hält man Zahlen als Knochenschnittmarken fest.

um 3000 v. Chr.Südamerikaner erfassen Zahlen durch Knoten in Schnüren.

um 2000 v. Chr.Die Babylonier entwickeln das Stellenwertsystem.

SPÄTER

1202Leonardo von Pisa (Fibonacci) lobt in Liber Abbaci die indisch-arabischen Zahlen.

1621In England erfindet William Oughtred den Rechenschieber, der das Rechnen mit Logarithmen vereinfacht.

1972Hewlett Packard entwickelt wissenschaftliche Taschenrechner.

Der Abakus ist ein Zähl- und Rechengerät, das seit der Antike in Gebrauch ist. Es gibt viele Formen, die aber alle nach demselben Prinzip arbeiten: Ziffern werden durch Zählsteine dargestellt, die für mehrstellige Zahlen in Zeilen oder Spalten angeordnet sind.

Der Name selbst könnte auf den Ursprung deuten. Das lateinische Wort abacus stammt vom altgriechischen abax ab, was »Brett« oder »Platte« bedeutet – eine mit Sand bestreute Fläche, auf der man zeichnen konnte. Der älteste erhaltene Abakus ist die Salaminische Tafel, eine Marmorplatte von etwa 300 v. Chr., die 1846 auf der griechischen Insel Salamis entdeckt wurde. Auf ihr sind horizontale Linien und Zahlzeichen eingeritzt, auf die man Zählsteine legte. Steine auf der untersten Linie stellten Zahlen bis 4 dar, Steine darüber hatten den Wert 5, dann 10, 50 usw.