John Farndon - Big Ideas. Das Mathematik-Buch

»Die Stärke des Geistes beruht auf der Enthaltsamkeit, denn sie hält den Verstand frei von Leidenschaft. «

Pythagoras

Neben dem bekannten Satz machten Pythagoras und seine enge Gemeinschaft zahllose weitere Fortschritte in der Mathematik, aber sie behielten ihr Wissen für sich. Eine ihrer Entdeckungen sind Polygonalzahlen: natürliche Zahlen, die als Punkte dargestellt ein Polygon (Vieleck) ausfüllen können. So ist 4 eine Polygonalzahl, weil vier Punkte ein Quadrat bilden, und 10 ist eine Polygonalzahl, weil zehn Punkte ein Dreieck bilden können: vier in der untersten Linie, drei darüber, dann zwei und an der Spitze einen Punkt (4 + 3 + 2 + 1 = 10).

Zwei Jahrtausende nach Pythagoras, 1638, erweiterte Pierre de Fermat dieses Prinzip zu der Aussage, dass jede Zahl als Summe von bis zu k k -Eckszahlen darstellbar ist, d. h. jede beliebige Zahl ist die Summe von bis zu drei Dreieckszahlen, bis zu vier Quadratzahlen, bis zu fünf Fünfeckszahlen usw. So lässt sich 19 als drei Dreieckszahlen schreiben: 1 + 3 + 15 = 19. Fermat konnte seine Vermutung nicht beweisen. Erst 1813 vervollständigte der Franzose Augustin-Louis Cauchy den Beweis.

Ein anderer Zahlentyp, der Pythagoras begeisterte, war die vollkommene (oder perfekte) Zahl. Vollkommen nennt man eine natürliche Zahl, die genau die Summe ihrer Teiler außer sich selbst ist. Die erste vollkommene Zahl ist 6, denn ihre Teiler 1, 2 und 3 ergeben aufaddiert wieder 6. Die nächste ist 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), die dritte ist 496 und die vierte ist 8128.

»Der beste Typ von Mensch widmet sein Leben dem Streben, den Sinn und das Ziel des Lebens zu entdecken … einen solchen Menschen nenne ich Philosoph. «

Pythagoras

»Ich habe oft die mystischen Wege von Pythagoras bewundert und die geheime Magie der Zahlen. «

Sir Thomas BrowneEnglischer Universalgelehrter Religio Medici , 1643

Diese Zahlen hatten keinen praktischen Wert, aber ihre Merkwürdigkeit und Schönheit faszinierten Pythagoras und seine Gemeinschaft.

Dagegen soll Pythagoras eine überwältigende Angst vor irrationalen Zahlen gehabt und sie abgelehnt haben (Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellbar sind). Die berühmteste ist Pi ( π ). Solche Zahlen hatten keinen Platz unter den wohlgeordneten Ganz- und Bruchzahlen, die laut Pythagoras das Universum bestimmten. Es gibt sogar die Legende, die Angst vor irrationalen Zahlen habe seine Anhänger dazu getrieben, ein Mitglied – Hippasos – zu ertränken, weil er ihre Existenz veröffentlichte, als er nach der Wurzel von zwei ( ) suchte.

Pythagoras’ Ruf der Härte und Rücksichtslosigkeit zeigt sich in der Geschichte über die Hinrichtung eines Mitglieds. Der- oder diejenige hatte öffentlich erklärt, Pythagoras habe ein neues reguläres Polyeder entdeckt. Dieses aus zwölf regulären Fünfecken gebildete sogenannte Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper. Die Pythagoreer verehrten das Pentagon (Fünfeck). Ihr Zeichen war das Pentagramm, ein fünfeckiger Stern, in dessen Zentrum ein Pentagon steht. Der Verrat dürfte daher als besonders schweres Verbrechen gegolten haben und wurde mit dem Tod bestraft.

Im antiken Griechenland galten Mathematik und Philosophie als sich ergänzende Disziplinen, die zusammen studiert wurden. Pythagoras selbst soll das Wort »Philosoph« aus philos (»Liebe«) und sophos (»Weisheit«) geprägt haben. Für Pythagoras und seine Anhänger war die Pflicht eines Philosophen das Verfolgen der Weisheit.

Pythagoras’ philosophische Richtung verband spirituelle Ideen mit Mathematik, Wissenschaft und Rationalität. Zu dem Glaubenssystem gehörte auch die Metempsychosis oder Seelenwanderung, die er vielleicht in Ägypten oder dem Nahen Osten kennenlernte. Demnach sind die Seelen unsterblich und wandern nach dem Tod in einen neuen Körper. Zwei Jahrhunderte später war Platon in Athen von der Vorstellung fasziniert und erwähnte sie in seinen Dialogen. Auch das Christentum übernahm später die Trennung zwischen Körper und Seele. Pythagoras’ Vorstellung wurde also letztlich zu einem Kernglauben westlichen Denkens.

Die Schule von Athen ,ein Fresko des Malers Raffael im Vatikan in Rom von 1510–1511, zeigt Pythagoras mit einem Buch, umgeben von Schülern, die von ihm lernen möchten.

Wichtig für die Mathematik war Pythagoras’ Glaube, dass alles im Universum auf Zahlen und mathematischen Regeln beruhte. Bestimmte Zahlen hätten Eigenschaften und spirituelle Bedeutung. Dies lief auf eine Art Zahlenkult hinaus, sodass die Pythagoreer in allen Erscheinungen mathematische Muster suchten.

Die Musik war Pythagoras sehr wichtig. Er soll sie als heilige Wissenschaft angesehen haben, nicht nur zur Unterhaltung. Die Musik vereinheitlichte sein Konzept der Harmonia , der Verbindung von Kosmos und Psyche. Wohl deshalb gilt er als Entdecker der Beziehung zwischen mathematischen Verhältnissen und musikalischer Harmonie. Als er an einer Schmiede vorbei kam, habe er bemerkt, dass verschiedene Töne entstehen, wenn verschieden schwere Hämmer auf dasselbe Metallstück fielen. Wenn das Gewicht der Hämmer in einem bestimmten Verhältnis stand, dann waren die Töne harmonisch.

Die Hämmer hatten Gewichte von 6, 8, 9 und 12 Einheiten. Die mit dem Gewicht 6 und 12 ergaben verschieden hohe Töne gleicher Tonlage (also des gleichen Tonempfindens). In heutigen musikalischen Begriffen hatten sie den Abstand einer Oktave. Die Frequenz des Tons des 6 Einheiten schweren Hammers war doppelt der des 12 Einheiten schweren. Das Frequenzverhältnis war also gleich dem umgedrehten Gewichtsverhältnis. Die Hämmer mit den Gewichten 9 und 12 ergaben harmonische Töne – eine reine Quarte –, da ihr Gewicht im Verhältnis 3:4 stand. Die Töne der Hämmer mit Gewicht 8 und 12 (Frequenzverhältnis 3:2) waren ebenfalls harmonisch – eine reine Quinte. Dagegen klangen die Hämmer mit Gewicht 8 und 9 für ihn dissonant. Durch diese Verknüpfung von Musiknoten mit Bruchzahlen entdeckte Pythagoras als Erster die Beziehung zwischen Mathematik und Musik.

Pythagoras sollexzellent Lyra gespielt haben. Die Zeichnung griechischer Musiker illustriert das Trigonon (Harfe), die Kithara und die Schildkrötenleier (von links nach rechts).

Die Numerologieder Göttlichen Komödie von Dante Alighieri (1265–1321) – hier in einem Fresko in der Kathedrale von Florenz (Italien) – zeigt den Einfluss von Pythagoras, den Dante in seinem Werk mehrfach erwähnt.