Rolando Rebolledo B. - Teoría de la medida e integración

2. Sea z \{0}: z se escribe en la forma z = | z |exp( iArg z ) con 0 ≤ Arg z < 2 π ; Arg z es el argumento de z .

a) Sea z 1= u 1+ iv 1y z 2= u 2+ iv 2dos elementos de . Probar que:

y que la igualdad significa ya sea z 1 z 2= 0 o bien Arg z 1= Arg z 2módulo π .

b ) Probar que si f es una función compleja continua definida sobre [ a , b ], entonces la igualdad

significa que el argumento de f es constante sobre el conjunto { t ] a , b [; f ( t ) ≠ 0}.

Enseguida probar que si se tiene la igualdad:

entonces f es constante sobre [ a , b ].

3. Sea f una función de en , periódica, de período 2 π , integrable en el sentido de Riemann sobre [0,2 π ]. Sus coeficientes de Fourier están dados por la expresión:

Sea

a) Probar que | a n| ≤ M para todo n .

b) Se supone f continua. ¿Bajo qué condición se puede tener | a n| = M ?

4. El propósito de este ejercicio es probar el llamado “Teorema Fundamental del Cálculo”, que relaciona primitivas e integrales de una función.

a ) Sea f una función integrable en el sentido de Riemann sobre [ a , b ]. Se define F sobre [ a , b ] mediante la expresión:

Probar que F es continua en cada punto x [ a , b ].

b ) Si el conjunto D f de discontinuidades de f es finito, probar que F es derivable en ] a , b [\ D f, y se tiene: F′ ( x ) = f ( x ) para todo x ] a , b [\ D f . F es una primitiva de f , mejor aún, es la única que se anula en a.

FIGURA 1. Pitágoras, 570 a.C.– 469 a.C.

FIGURA 2. Euclides, aprox. 325 a.C.– 265 a.C.

FIGURA 3. Bernhard Riemann, 1826- 1866

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