Rolando Rebolledo B. - Teoría de la medida e integración

Notar que si f es una función escalonada positiva, entonces

Si f es una función real de signo cualquiera, introduzcamos las siguientes funciones asociadas:

para todo x en el respectivo dominio de definición. Se puede observar que

Para una función escalonada f cualquiera se verifica entonces:

Y si g es otra función escalonada tal que f ≤ g , entonces:

DEFINICIÓN 1.2. Sea f una función de [ a , b ] en . Decimos que ella es integrable en el sentido de Riemann si existe

una sucesión decreciente de funciones escalonadas en [ a , b ] minoradas por f ,

una sucesión creciente de funciones escalonadas mayoradas por f , tales que

En tal caso, el límite común de las sucesiones se escribe , recibiendo el nombre de integral de f sobre [ a , b ].

Notar que si f es positiva y si escribimos , entonces la condición (1.21) equivale a la planteada en el ejercicio 1.4.

Puesto que las funciones escalonadas son acotadas sobre todo intervalo acotado [ a , b ], las funciones integrables en ese intervalo también lo son. Una elección posible de las sucesiones y es la propuesta por Darboux que explicamos a continuación. Sea ( π ( n )) nuna sucesión de particiones de [ a , b ], π ( n ) : , llamamos para cada j = 1,..., k ( n ). Definimos entonces, para cada n ,

De este modo se tiene

De (1.22), (1.23), (1.24), resulta una forma equivalente de definir la integrabilidad en el sentido de Riemann: una función f acotada es integrable si y sólo si las sumas del miembro derecho de (1.24) convergen a 0 si n → ∞.

EJERCICIO 1.7. Probar que toda función real continua es integrable sobre todo intervalo acotado contenido en su dominio de definición.

EJERCICIO 1.8. Sea f una función real integrable en el sentido de Riemann sobre [ a , b ] y sea g otra función real, que es igual a f salvo en un número finito de puntos. Probar que g es también integrable en el sentido de Riemann y que su integral coincide con la de f .

Deducir en particular que toda función continua, salvo en un número finito de puntos sobre [ a , b ], es integrable.

EJERCICIO 1.9. Probar que la función f definida sobre [0,1], que vale 1 sobre los puntos racionales y 0 en todos los otros, no es integrable en el sentido de Riemann. Sin embargo, el conjunto [[0, f ]] tiene superficie nula.

En el teorema siguiente resumimos las propiedades esenciales de la Integral de Riemann estudiadas en los cursos elementales de Cálculo.

TEOREMA 1.1. Dado un intervalo I = [ a , b ] de la recta real, designemos por R ( I ) el conjunto de las funciones reales que son integrables en el sentido de Riemann sobre I .

1. R ( I ) es un espacio vectorial real y la aplicación f ↦ ∫ I f ( x ) dx es una forma lineal definida sobre este espacio.

2. La forma lineal anterior es también creciente sobre R ( I ), vale decir: f ≤ g implica ∫ I f ( x ) dx ≤ ∫ I g ( x ) dx .

3. R ( I ) es también estable para el producto de funciones y para las operaciones ( f , g ) ↦ sup( f , g ), ( f , g ) ↦ ínf( f , g ).

4. f R ( I ) si y sólo si f + R ( I ) y f – R ( I ). En tal caso se tiene: