John Farndon - Big Ideas. Das Mathematik-Buch

Seit der Antike hatte sich die Mathematik mit statischen Situationen beschäftigt oder Dinge zu einem festen Zeitpunkt beschrieben. Es gab aber noch kein Mittel, um kontinuierliche Veränderungen zu messen oder zu berechnen. Die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert von Gottfried Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurde, lieferte Antworten. Ihre zwei Teilgebiete, die Differenzial- und Integralrechnung, analysierten Merkmale wie die Steigung oder die Fläche unter einer Kurve. Damit konnten sie Veränderungen beschreiben.

Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung begründete die Analysis, die im 20. Jahrhundert besonders wichtig für etwa die Quantenmechanik oder Chaostheorie wurde.

Im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert entstand ein neuer Teilbereich: die Grundlagen der Mathematik. Dieses Gebiet begutachtete die Verbindung zwischen Philosophie und Mathematik. Wie schon Euklid im 3. Jahrhundert v. Chr. wollten Gelehrte wie Gottlob Frege und Bertrand Russell die logischen Grundlagen mathematischer Prinzipien entdecken. Das regte eine Neubeurteilung der Natur der Mathematik selbst an: Wie funktioniert sie und wo sind ihre Grenzen? Die Erforschung der grundlegenden mathematischen Konzepte ist wohl das abstrakteste Teilgebiet, eine Art von Metamathematik, jedoch eine unerlässliche Ergänzung jedes anderen Gebiets der modernen Mathematik.

Die verschiedenen Gebiete der Mathematik – Arithmetik bzw. Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Analysis, Logik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik – sind um ihrer selbst Willen würdige Studiengebiete, und das gängige Bild der akademischen Mathematik ist die nahezu unbegreifliche Abstraktion. Aber meist haben sie auch praktische Anwendungen, und umgekehrt treiben Fortschritte in Wissenschaft und Technik das mathematische Denken voran.

Ein wichtiges Beispiel ist das symbiotische Verhältnis zwischen Mathematik und Computertechnik. Computer wurden ursprünglich als Werkzeug für Routinearbeiten entwickelt: die Berechnung von Tabellen für Mathematiker oder Astronomen. Doch ihre Konstruktion erforderte neue mathematische Denkmodelle. Daher waren es Mathematiker ebenso wie Techniker, die die Grundlagen von erst mechanischen und dann elektronischen Rechenmaschinen lieferten, die dann wieder Hilfsmittel zur Entdeckung neuer Konzepte waren. Zweifellos werden auch in Zukunft neue Anwendungen für mathematische Lehrsätze gefunden – und da noch zahllose Probleme ungelöst sind, ist auch für mathematische Entdeckungen kein Ende in Sicht.

Die Geschichte der Mathematik ist die Erkundung von Teilgebieten und Entdeckung neuer. Aber sie ist auch die Geschichte der Entdecker, der Mathematiker, die ein festes Ziel hatten, etwa ein ungelöstes Problem zu lösen oder in unbekannten Territorien nach neuen Ideen zu suchen. Oder andere, die bei ihrer Arbeit über eine neue Idee stolperten und sie verfolgten, um zu sehen, wo sie hinführt. Manche Entdeckungen waren bahnbrechende Erkenntnisse, die den Weg in neue, unbekannte Bereiche öffneten, andere waren von »Zwergen auf den Schultern von Riesen«: die Fortentwicklung oder Anwendung der Arbeiten früherer Denkergenerationen.

Dieses Buch stellt viele der »großen Ideen« der Mathematik von den frühesten Entdeckungen bis zur Gegenwart vor und erklärt in verständlicher Sprache, wo sie herkommen, wer sie entdeckte und warum sie wichtig sind. Einige sind wohl vielen Lesern bekannt, andere nicht. Mit dem Verständnis dieser Ideen und der Menschen und Gesellschaften, die sie entdeckten, können wir nicht nur die Allgegenwart und Nützlichkeit der Mathematik würdigen, sondern auch die Eleganz und Schönheit, die Mathematiker in ihr sehen.

»Richtig betrachtet besitzt die Mathematik nicht nur Wahrheit, sondern erhabene Schönheit. «

Bertrand RussellBritischer Philosoph und Mathematiker The Study of Mathematics , 1919

UM 3500 V. CHR.

Sumerische Tontafeln enthalten verschiedene Maßangaben:ein Vorläufer eines Zahlensystems.

UM 1650 V. CHR.

Die Ägypter beschreiben Methoden zur Berechnungvon Flächen und Volumen im Papyrus Rhind .

UM 430 V. CHR.

Hippasos von Metapont entdeckt die irrationalen Zahlen:Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen.

UM 300 V. CHR.

Eines der einflussreichsten Lehrbücheraller Zeiten, Euklids Elemente , enthält mathematische Fortschrittewie den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

UM 3000 V. CHR.

Die Sumerer nutzen ein Hexagesimalsystem(Zahlensystem mit Basis 60), in dem ein kleiner Kegel 1und ein großer Kegel 60repräsentiert.

UM 530 V. CHR.

Pythagoras gründet eine Schule,in der er metaphysischen Glauben und Mathematiklehrt, etwa den Satz von Pythagoras.

UM 387 V. CHR.

Platon gründet die Akademie in Athen– angeblich stand über dem Eingang: »Niemand soll eintreten, der keine Geometrie versteht«.

UM 200 V. CHR.

Wichtige Fortschritte in der Geometriemacht Apollonios von Perge in dem Buch Konika .

UM 150 V. CHR.

Die alten Chinesen nutzen ein System zur Darstellung negativer und positiver Zahlenmit schwarzen und roten Bambusstäben.

263

Liu Hui schreibt wichtige Kommentare zum Jiu Zhang Suanshu (»Neun Kapitel der Rechenkunst«),eine Sammlung älterer Texte verschiedener Gelehrter aus dem 1. Jt. v. Chr.

UM 250 V. CHR.

Archimedes nähert den Wert von Pidurch eine Methode mit Polygonenan.

UM 150 V. CHR.

Hipparchos von Nicäa stellt die ersten trigonometrischen Tabellenzusammen.

UM 250 N. CHR.

Diophantos von Alexandria veröffentlicht in Arithmetica neue Symbole für die Darstellung von Unbekanntenin Gleichungen.

470

Zu Chongzhi nähert Pi auf sieben Dezimalstellenan, ein Wert, der ein Jahrtausend lang nicht weiter verbessert wird.

Schon vor 40 000 Jahren schnitten Menschen Kerben als Strichlisten in Holz- oder Knochenstäbe. Zweifellos hatten sie ein rudimentäres Verständnis für Zahlen und Rechnen, aber die Geschichte der eigentlichen Mathematik begann mit der Entwicklung von Zahlensystemen in den frühen Hochkulturen. Das erste entstand im vierten Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien (im heutigen Irak und Iran), wo die weltweit früheste Landwirtschaft und die ersten Städte entstanden. Hier verfeinerten die Sumerer das Prinzip von Strichlisten mit verschiedenen Symbolen für verschiedene Mengen, und die Babylonier entwickelten es zu einem komplizierten Zahlensystem aus Keilschriftzeichen weiter. Ab etwa 1800 v. Chr. wandten die Babylonier elementare Geometrie und Algebra auf praktische Probleme an. Etwa in der Architektur, bei Bauprojekten, in der Landvermessung, im Rechnungswesen sowie in der Buchhaltung für den Handel und Steuererhebungen.

Ähnliches wiederholte sich in der etwas jüngeren ägyptischen Zivilisation. Der Handel und das Steuerwesen erforderten ein kompliziertes Zahlensystem. Auch Bauarbeiten und Technik waren nur dank Messverfahren und gewissen Kenntnissen in Geometrie und Algebra möglich. Mit ihren mathematischen Fähigkeiten und guten Himmelsbeobachtungen konnten die Ägypter auch astronomische Zyklen und Jahreszeiten berechnen und vorhersagen. Sie stellten Kalender für die Landwirtschaft und den religiösen Jahreslauf auf. Ebenso legten sie die Grundlagen für die Geometrie und Arithmetik schon um 2000 v. Chr.