John Farndon - Big Ideas. Das Mathematik-Buch

Eine neue Art von Funktionen

Elliptische Funktionen

Ich habe eine neue, andere Welt aus dem Nichts erschaffen

Nichteuklidische Geometrien

Algebraische Strukturen haben Symmetrien

Gruppentheorie

Geradezu wie ein Taschenatlas

Quaternionen

Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen außer 8 und 9 können keine exakten Potenzen sein

Die catalansche Vermutung

Die Matrix ist überall

Matrizen

Eine Untersuchung der Gesetze des Denkens

Boolesche Algebra

Eine Fläche mit nur einer Seite

Das Möbiusband

Die Musik der Primzahlen

Die riemannsche Vermutung

Einige Unendlichkeiten sind größer als andere

Transfinite Arithmetik

Die Diagrammdarstellung von Schlussfolgerungen

Venn-Diagramme

Der Turm wird fallen und es wird das Ende der Welten sein

Der Turm von Hanoi

Formen und Größen spielen keine Rolle, nur Verbindungen

Topologie

Die Verteilung der Primzahlen zeigt ein Muster

Der Primzahlsatz

MODERNE MATHEMATIK

1900–HEUTE

Der Schleier, unter dem die Zukunft verborgen liegt

23 Probleme für das 20. Jahrhundert

Die Grammatik der Wissenschaft

Die Geburt der modernen Statistik

Eine fortgeschrittene Logik befreit uns

Mathematische Logik

Das Universum ist vierdimensional

Minkowski-Raum

Eine ziemlich langweilige Zahl

Taxicab-Zahlen

Eine Million Affen schlagen auf eine Million Schreibmaschinen ein

Das Infinite-Monkey-Theorem

Die Algebra hat ein anderes Gesicht bekommen

Emmy Noether und abstrakte Algebra

Strukturen sind die Waffen des Mathematikers

Das Bourbaki-Kollektiv

Eine einzige Maschine, um jede berechenbare Folge zu berechnen

Die Turing-Maschine

Kleine Dinge sind häufiger als große Dinge

Das benfordsche Gesetz

Ein Bauplan für das Digitalzeitalter

Informationstheorie

Jeder kennt jeden über etwa sechs Ecken

Das Kleine-Welt-Phänomen

Eine kleine positive Schwingung kann den ganzen Kosmos verändern

Der Schmetterlingseffekt

Logisch können Dinge nur teilweise wahr sein

Fuzzy-Logik

Eine große vereinheitlichte Theorie der Mathematik

Das Langlands-Programm

Ein neues Dach, ein neuer Beweis

Mathematische Kollaboration

Fünfecke sehen einfach nett aus

Penrose-Kacheln

Endlose Vielfalt und unbegrenzte Kompliziertheit

Fraktale

Vier Farben, aber nicht mehr

Der Vier-Farben-Satz

Verschlüsselung von Daten mit einer Einwegfunktion

Kryptografie

Juwelen auf einem noch unsichtbaren Faden

Endliche einfache Gruppen

Ein wahrhaft wunderbarer Beweis

Beweis des Satzes von Fermat

Keine andere Anerkennung ist nötig

Beweis der Poincaré-Vermutung

ANHANG

GLOSSAR

ZITATQUELLEN

DANK

Die ganze Mathematik in einem Buch – das ist unvorstellbar, denn es gibt einfach zu viel Mathematik. In der Tat existiert Mathematik seit mindestens 5000 Jahren. Während dieser langen Zeit haben Mathematikerinnen und Mathematiker unablässig mathematische Erkenntnisse erzielt und veröffentlicht. Heute ist Mathematik produktiver denn je: Täglich, ja stündlich werden neue Ergebnisse publiziert. Wie soll man das zusammenfassen?

Die Autoren dieses Buches schaffen es jedoch, den Dschungel zu lichten. Dazu schlagen sie große Schneisen und ermöglichen so Blicke in die Welt der Mathematik, die Einsichten eröffnen. Was das Buch wirklich einzigartig macht, ist, dass es nicht in der Vergangenheit stehen bleibt, sondern durchgängig die Verbindung zu moderner Mathematik sucht.

Die ganze Mathematik in einem Buch – das kann nicht funktionieren, weil das viel zu kompliziert ist. In der Tat hat die Mathematik in den letzten 500 Jahren eine Sprache voller Symbole, Spezialausdrücke und Zeichen entwickelt. Die Mathematikerinnen und Mathematiker sind zu Recht stolz darauf. Denn die mathematische Sprache ist ein Präzisionsinstrument, mit dem man auch noch die kühnsten Expeditionen menschlichen Denkens ermöglichen und absichern kann. Aber wer soll das verstehen?

Doch, es geht. Das Buch schlägt einen klugen Mittelweg ein: Es vermeidet einerseits, so zu tun, als ob die mathematische Sprache im Grunde nur eine Art Zuckerguss sei, auf den man auch verzichten kann, und es vermeidet andererseits, ein mathematisches Lehrbuch zu sein, bei dem die mathematische Sprache ganz selbstverständlich benutzt wird. So werden an vielen Stellen der Nutzen und der Vorteil einer symbolischen Darstellung klar.

Die ganze Mathematik in einem Buch – das interessiert doch niemanden, weil Mathe angeblich langweilig ist. In der Tat haben die wenigsten Menschen eine Vorstellung von der Lebendigkeit der Mathematik. Es ist weitgehend unbekannt, dass Mathematik eine der wichtigsten Wissenschaften für unser Leben und unsere wirtschaftliche Entwicklung ist, dass man über das Leben von Mathematikerinnen und Mathematikern spannende Geschichten erzählen kann, und, nicht zuletzt, dass mathematische Probleme und die Versuche, ihnen auf die Spur zu kommen, unglaublich faszinierend sein können.

Doch auch dies leistet das vorliegende Buch: Es entwirft ein Panorama von kühnen mathematischen Gedanken und ihren Anwendungen, es erzählt von den handelnden Personen und stellt Probleme dar, deren Faszination man sich kaum entziehen kann.

Insgesamt ein Buch mit einem umfassenden Anspruch, das Leserinnen und Leser aber nicht erschlägt. Vielmehr kann man einfach irgendwo anfangen und mal ein Kapitel lesen. Ich bin überzeugt: Aus dem einen Kapitel werden zwei und drei oder noch mehr.

Viel Vergnügen!

Professor Dr. Albrecht Beutelspacher

Direktor des Mathematikums Gießen

Die Anfänge der Mathematik liegen in der Frühgeschichte, als die Menschen begannen, Dinge zu zählen und zu messen. Dabei erkannten sie Muster und Regeln in den Vorstellungen von Zahlen, Maßen und Formen. Sie entdeckten die Prinzipien der Addition und Subtraktion – wenn man etwa zwei Dinge (ob Steine, Beeren oder Mammuts) zu zwei weiteren hinzufügt, hat man stets vier Dinge. Solche Gedanken erscheinen uns heute offensichtlich, waren damals aber tiefgründige Einsichten. Sie zeigen, dass die Geschichte der Mathematik nicht nur eine Geschichte der Erfindungen, sondern auch der Entdeckungen, ist. Zwar waren es menschliche Neugier und Intuition, die mathematische Grundsätze erkannten, und der Erfindungsreichtum lieferte später Methoden zur Notation (der Beschreibung durch Symbole) sowie Manipulation, aber die Prinzipien selbst sind nicht menschengemacht. 2 + 2 = 4 ist eine Tatsache, die unabhängig vom Menschen wahr ist. Die Gesetze der Mathematik sind wie die der Physik universell, ewig und unveränderlich. Als Mathematiker erstmals zeigten, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks in der Ebene 180 ° ist, war das nicht ihre Erfindung. Sie hatten lediglich eine Tatsache entdeckt, die immer schon wahr war und ewig wahr bleiben wird.