Max Diem - Quantenmechanische Grundlagen der Molekülspektroskopie

Abb. 2.6(a) Struktur von 1,6-Diphenyl-1,3,5-hexatrien, das als Modell für Teilchen-im-Kasten-Experimente dient. (b) Energieniveaudiagramm, das auf dem TiK-Formalismus basiert. Die drei niedrigsten Energieniveaus sind mit sechs π -Elektronen besetzt.

Berechnung der Energiedifferenz zwischen den Energieniveaus n = 3 und n = 4 für 1,6-Diphenyl-1,3,5-hexatrien (siehe Abb. 2.6) unter der Annahme, dass die Elektronen dem TiK-Formalismus gehorchen. Was ist die Wellenlänge eines Photons, das diesen Übergang verursacht?

1 a) Abschätzung der konjugierten Länge. Da die Einfach- und Doppelbindungen mit Bindungslängen von 154 bzw. 130 pm gegeben sind und mit einem Winkel von ungefähr 120° zueinander stehen, kann man die Länge des Kastens abschätzen:(B2.4-1)

2 b) Berechnung der Energiedifferenz zwischen n = 3 und n = 4 mit der Elektronen-masse me = 9,1 · 10−31kg und h = 6,6 · 10−34 J s.Da die Länge der Box auf zwei Stellen geschätzt wurde, wird die gesamte Berechnung mit zwei Stellen durchgeführt.(B2.4-2) Analyse der Einheiten:

3 c)(B2.4-3)

Quantenpunkte

Quantenpunkte können auch durch ein zweidimensionales Teilchen im Kasten modelliert werden. Quantenpunkte können hergestellt werden, indem kleine kreisförmige oder quadratische Halbleiterablagerungen auf einem Substrat erzeugt werden, der ein elektrischer Isolator ist. Die Elektronen der Halbleiterpunkte können sich frei über die gesamte Größe des Punkts bewegen, und die Energieniveaus der freien Elektronen folgen einem 2-D-TiK-Modell [4]. Folglich kann die Farbe der elektronischen Übergänge durch Ändern der Größe des Quantenpunkts eingestellt werden.

In enger Beziehung zu diesen zweidimensionalen Quantenpunkten stehen dreidimensionale Nanopartikel wie Kugeln aus metallischen oder Halbleitermaterialien. Die freien Elektronen auf der Oberfläche solcher Kugeln können Wellenmuster annehmen, die als Kugelflächenfunktionen bekannt sind und die Lösungen für Teilchenwellen auf einer Kugeloberfläche darstellen. Ähnliche Funktionen werden in Kap. 7bei der Behandlung der Wasserstoffatomwellenfunktionen diskutiert. Auch hier können die optischen Eigenschaften der Nanopartikel durch Änderung ihrer Größe eingestellt werden. Dies ist in Abb. 2.7 dargestellt.

Abb. 2.7Absorptionsspektren von Nanopartikeln in Abhängigkeit von der Größe der Teilchen. Wie zu erwarten, haben größere Teilchen Übergänge mit geringerer Energie (längerer Wellenlänge).

Quantenkaskadenlaser

Schließlich wird ein Beispiel für eine kommerzielle Anwendung des TiK diskutiert, nämlich das eines Festkörperinfrarotlasers, der als Quantenkaskadenlaser (QCL) bekannt ist [5]. In QCLs wird der ,,Kasten“ dadurch aufgebaut, dass man durch Halbleitertechnologie potenzielle Energiefunktionen eines Übergitters erzeugt, die ein TiK mit endlich hohen Energiebarrieren imitieren. Darüber hinaus ist der Boden des Energiekastens nicht flach, sondern schräg, wie in Abb. 2.8a dargestellt. Sowohl die Barrieren als auch die Neigung des Bodens des Kastens können im Herstellungsprozess durch Verdampfen unterschiedlicher Zusammensetzung von Halbleitermaterialien (Dotierung) erreicht werden.

Die Neigung des Energiepotenzials hat den Effekt, dass die TiK-Wellenfunktionen verzerrt werden, wie in Abb. 2.8a für die beiden Zustände mit der niedrigsten Energie übertrieben dargestellt ist. (Die Wellenfunktionen in Gegenwart einer abfallenden Grundlinie werden in Anhang B, Störungsmethoden, berechnet.) Die Verzerrung bewirkt, dass sich die Amplitude der Wellenfunktion in Richtung der niedrigeren potenziellen Energie verschiebt, was zur Folge hat, dass ein Elektron im Grundzustand des Potenzials aufgrund seiner höheren Amplitude auf der rechten Seite eine höhere Wahrscheinlichkeit hat, durch die Barriere zu tunneln. Das Übergitter besteht aus einer großen Anzahl dieser Energiepotenziale, die so angeordnet sind, wie in Abb. 2.8b dargestellt.

Abb. 2.8(a) Ein einzelner Energietopf mit endlicher Barrierenhöhe und einem abfallenden Energieboden mit den beiden niedrigsten Energiezuständen und Wellenfunktionen. (b) Die Übergitterstruktur in einem Quantenkaskadenlaser, die durch aufeinanderfolgende potenzielle TiK-Energietöpfe modelliert wurde.

Während des Betriebs des QCL werden Elektronen über einen elektrischen Strom in einen durch das *-Symbol in Abb. 2.8b gekennzeichneten potenziellen Energiezustand injiziert. Sie durchlaufen einen Übergang, wie durch den Abwärtspfeil ganz links angegeben, wobei ein (Infrarot-)Photon emittiert wird. Das Elektron im Grundzustand kann dann durch die Barriere mit endlicher Höhe tunneln, in den nächsten Quantentopf gelangen und einen weiteren Übergang eingehen. Die Emissions- und Tunnelprozesse werden so oft wiederholt, wie sich Quantentöpfe im Übergitter befinden. Der Begriff Kaskade in QCL beruht auf der Tatsache, dass ein Elektron in der Übergitterstruktur viele aufeinanderfolgende Emissionsprozesse durchlaufen kann. Durch Platzieren des Übergitters in einem optischen Resonator kann eine stimulierte Emission (siehe Kap. 3) von den angeregten Zuständen in den Grundzustand in jedem Topf erreicht werden.

Die folgenden trigonometrischen Integralbeziehungen werden für diese Aufgaben benötigt:

Zeigen Sie, dass die Funktion f ( x ) = cos( bx ) eine Eigenfunktion des Operators d 2/ d x 2ist. Was ist der Eigenwert?

Zeigen Sie, dass die Funktion e −x2/2eine Eigenfunktion des Operators (d 2/d x 2) — x 2ist. Was ist der Eigenwert?

Zeigen Sie, dass die Funktion e −x2/2eine Eigenfunktion des Operators d 2/d x 2ist. Was ist der Eigenwert?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W , ein TiK im Grundzustand im mittleren Drittel des Kastens zu finden? Was ist W für den gleichen Bereich für ein klassisches Teilchen?

Bestimmen Sie die Erwartungswerte von x und px für ein TiK im Grundzustand.

Was ist der Erwartungswert des kinetischen Energieoperators T für den Grundzustand eines TiK?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W , ein TiK im ersten angeregten Zustand in der linken Hälfte des Kastens mit der Länge L zu finden?

Für ein Elektron in einem eindimensionalen Kasten mit einer Länge von 0,1 nm:

1 a) Berechnen Sie die Energie des ersten, zweiten und dritten Energieniveaus für dieses Elektron.

2 b) Berechnen Sie die Wellenlänge eines Photons, die erforderlich ist, um das Elektron vom zweiten zum dritten Energieniveau zu befördern.