Rainer Maderthaner - Psychologie

4. Verhältnisskala (Rationalskala): Variablen dieser Art sind gewissermaßen Intervallskalen mit einem fixen Nullpunkt. In der Psychologie gehören Verhältnisschätzungen für Wahrnehmungsreize diesem Skalentyp an oder bestimmte probabilistische Testkennwerte („Item-Response-Modelle“).

5. Absolutskala: So bezeichnet man Variablentypen, die ebenfalls einen fixen Nullpunkt haben, bei denen aber auch „echte“ Einheiten gegeben sind. Zu diesem Typus zählen alle Variablen, die Häufigkeiten bzw. Frequenzen zum Ausdruck bringen (z.B. Schätzungen der Anzahl von Objekten oder Personen).

Als quantitative Variablen im engeren Sinne zählen für die Statistik nur solche, die als Intervall-, Verhältnis- oder Absolutskalen zu interpretieren sind.

Eine empirische Variable hat noch eine weitere, für komplexe statistische Auswertungen wichtige Eigenschaft: die Verteilung ihrer Ausprägungen.

Die Betrachtung der Verteilung empirischer Variablen ist aus verschiedenen Gründen wichtig:

1. Aus ihr geht hervor, welche Zahlenwerte mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Population zu erwarten sind (z.B. Mess- oder Testergebnisse).

2. Sie kann Hinweise darüber geben, ob der Wertebereich einer Variablen für die Beschreibung eines empirischen Prozesses optimal gewählt wurde (z.B. nicht optimal bei „schiefen“ Verteilungen, wenn sich die Werte bei den Minimal- oder Maximalwerten der Variablen häufen).

3. Ein weiterer Grund für die Verteilungsprüfung von Variablen liegt in der notwendigen Prüfung von Verteilungsvoraussetzungen (z.B. dem Erfordernis der Normalverteilung von Fehlerkomponenten) für bestimmte multivariate statistische Auswertungsmethoden (z.B. der „Regressionsanalyse“).

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung (oder „Gauß’schen Glockenkurve“) und der (mit ihr verwandten) Binomialverteilung in der Statistik ist darauf zurückzuführen, dass beide als Idealformen zufallsbedingter Verteilungsprozesse angesehen werden. Wie bereits erwähnt, wird bei empirischen Variablen angenommen, dass sich ihre Werte aus einer wahren Komponente und einer zufälligen Fehlerkomponente zusammensetzen.

Um den „Schwerpunkt“ von mehreren Variablenwerten zu bestimmen, werden Maße der „Zentraltendenz“ („Lageorientierung“) herangezogen, wie etwa der Mittelwert (m) bzw. „Durchschnittswert“, nämlich die Summe (Σ) aller Werte (x) dividiert durch die Anzahl der Werte (n):

Ebenfalls als Maß der Zentraltendenz gebräuchlich ist der Median (jener Wert, von dem aus etwa 50 % aller Werte größer oder kleiner sind).

Eine zweite wichtige Kennzeichnung von Variablen sind statistische Kennwerte, die den „Streubereich“ („Dispersion“) der Ausprägungen von Variablen aufzeigen. Maße dafür sind etwa die Streubreite (Bereich vom maximalen Wert bis zum minimalen Wert), die Varianz

oder die Standardabweichung:

Die Varianz (v) ist als Durchschnittswert für die Abweichungsquadrate aller Werte (x) vom Mittelwert (m) definiert. Die Standardabweichung (s) als Wurzel der Varianz bezeichnet jene Abweichungen vom Zentrum der Normalverteilung, innerhalb derer etwa 68 % aller Werte liegen.

Um nun Variablen (mit verschiedenen Mittelwerten und Streuungen) besser miteinander vergleichen und auf wechselseitigen Zusammenhang (Korrelation) überprüfen zu können, werden sie oft durch einen einfachen Rechenvorgang in sogenannte Standardvariablen mit jeweils einem Mittelwert von 0,0 und einer Streuung von 1,0 umgewandelt (Standardisierung). Dies wird erreicht, indem alle Werte einer Variablen um ihren Mittelwert reduziert und durch die Streuung dividiert werden („lineare Transformation“, s. auch Abb. 8.19):

Um das Ausmaß der linearen „Ko-Relation“ zwischen zwei Variablen abschätzen zu können, bedient man sich seit etwa hundert Jahren des Pearson’schen Korrelationskoeffizienten (r), der bei einem maximal positiven Zusammenhang zwischen den zwei Variablen den Wert +1,0 annimmt (wenn beide gleichsinnig zu- oder abnehmen). Bei Fehlen einer linearen Beziehung wird er 0,0, bei einem maximal gegensätzlichen Zusammenhang dagegen erhält man

–1,0. Dieser in den Sozialwissenschaften häufig verwendete statistische Kennwert wird auch als „Produkt-Moment-Korrelation“ bezeichnet und lässt sich für zwei Standardvariablen sehr einfach, nämlich als mittleres Produkt der z-Werte, bestimmen (gebräuchliche Formeln zur Berechnung einer Korrelation findet man in statistischen Lehrbüchern oder im Internet):

(Σ = Summenzeichen, n = Anzahl der Fälle, z und z = Standardwerte der Variablen Y und X)

Eine praxisrelevante Nutzanwendung dieser Statistik besteht in ihrer Vorhersagefunktion für die Ausprägungen einer Variablen (Y), wenn die Werte einer anderen, mit ihr (linear) korrelierenden Variablen (X) bekannt sind:

z y= r · z x

lat. regredere: zurückgehen, zurückführen

Da mittels dieser (linearen) Funktion die Werte einer Variablen auf jene einer anderen Variablen zurückgeführt werden können ( Abb. 3.8), nennt man diese Bezugsherstellung Regression - und das statistische Verfahren Regressionsrechnung. Mittels der Korrelation lässt sich somit der vermutete Einfluss einer Variablen auf eine andere Variable abschätzen. Das Ausmaß des statistischen Effektes einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen wird als Effektstärke bezeichnet. So etwa kann man aus dem Quadrat des Korrelationswertes die Stärke des vermuteten Einflusses einer Variablen auf eine andere abschätzen (z.B. r = 0,5, r2 = 0,25, d.h. 25 % Prädiktion), wenn es sich um eine bidirektionale (notwendige und hinreichende) Beziehung handelt (s. Abb. 3.3), was bei psychologischen Effekten eher selten der Fall ist. Neben dem Korrelationskoeffizienten existieren noch weitere Kennwerte für Effektstärken (s. Bortz & Döring, 1995; Westermann, 2000).

Abb 3.8 |

Wenn zwei Variablen (X, Y) durch zwei Einheitsvektoren symbolisiert werden (d.h. als Standardvariablen mit Standardabweichung von s = 1), und die Variablen miteinander im Ausmaß von r = 0,80 korrelieren, dann kann diese Relation durch einen Winkel von 37° zwischen den Vektoren und im Variablenraum dargestellt werden: r = 0,80 = Cos (37°). Der Wert r entspricht somit der Abbildung einer Variablen auf eine andere.

Eine Besonderheit der geometrischen Betrachtungsweise von Variablen besteht darin, dass das Ausmaß ihrer linearen Beziehung (Korrelation) durch den Winkel ihrer Vektordarstellungen im Variablen- bzw. Merkmalsraum dargestellt werden kann (Andres, 1996; Abb. 3.8). Da jeder Vektor eine variablenspezifische Eigenschaft symbolisiert und gleichgerichtete Bündelungen von Vektoren somit auf Eigenschaftsüberlappungen der entsprechenden Variablen hinweisen, können für solche Variablencluster gewissermaßen „Schwerpunktvektoren“ berechnet werden, die man Faktoren nennt und die als oberbegriffliche Beschreibungen der durch die Variablen symbolisierten Eigenschaften aufzufassen sind ( Abb. 3.9).