Enric Trillas Ruiz - En defensa del raonament

NOTES

a ) Fins aquí s’ha donat per cert que les conjectures només són de tres menes: conseqüències febles, hipòtesis i especulacions. Això requereix, per descomptat, una explicació de la qual i malgrat ésser força tècnica, més endavant s’intentarà, almenys, fer-ne cinc cèntims.

b ) Com que la conjunció copulativa i permet afirmar que «Si p1 i p2 , aleshores p1 » i també que «Si p1 i p2 , aleshores p2 », està clar que de la conjunció p = p1 i p2 … i pn , que resumeix la informació continguda a les premisses, llur resum, segueix condicionalment totes les premisses, «Si p , aleshores pk ». És per aquest motiu que, en el cas de la deducció, s’acostuma a acceptar que les premisses formen part de les conseqüències; és a dir, que entre les conseqüències hi ha les premisses. En tot cas, aquesta propietat no és sinó teòrica i no és segur que, a la pràctica, en un raonament deductiu feble es reconegui explícitament que les premisses són alhora conseqüències.

c ) Vet aquí un primer intent de formalització del que s’ha dit fins ara.

1. Designem per P el conjunt { p1, …, pn } els elements del qual representen les premisses, i per C ( P ) el conjunt els elements del qual representen totes les conjectures que es poden obtenir; és a dir, si q és a C(P) és que q és una conjectura de P , o sigui que no és «Si p , aleshores no p ( q’ )». Per tant,

C(P) = { q ; no és «Si p , aleshores q ’»},

amb p l’enunciat « p1 i p2 i… pn », conjunció de totes les premisses, del qual suposem que no verifica «Si p , aleshores p’ » i tampoc «Si p’ , aleshores no p ». Com s’ha dit, p és el resum de la informació prèvia o de partida i les dues condicions anteriors indiquen que el resum no es contradictori amb ell mateix.

2. Convé dir quelcom respecte dels enunciats condicionals, o regles, del tipus «Si/aleshores», o «Si ‘antecedent’, aleshores ‘conseqüent’». Aquests enunciats no sempre es poden entendre de la mateixa manera, la qual depèn, realment, del seu significat. Els entendrem com a enunciats relacionals, és a dir, que relacionen l’antecedent amb el conseqüent i, encara que ho farem més endavant, ara no els entendrem com a operacions que donarien un resultat de l’estil de: «Si p , aleshores q » és equivalent a un determinat enunciat, per exemple, «no p o q ».

Els enunciats condicionals són bàsics en el raonament i als nens els costa de raonar amb ells; «Si p , aleshores q » diu, en primer lloc, que l’enunciat q vindrà, en tot cas, després del p i que llur coneixement depèn del de p ; diu que q està condicionat per p . Per això els representarem pel simbolisme relacional p ≤ q . Entendre bé els enunciats condicionals és una mostra de maduresa intel·lectual.

De fet, una forma força general d’entendre un condicional és a partir d’afirmar, com a equivalent, l’expressió:

( p i q ) o ( p’ i q ) o ( p’ i q’ ),

que està composta d’enunciats incompatibles dos a dos i que, en determinades condicions, se simplifica considerablement. Per exemple, hi ha cops que s’ha d’afirmar com a ( p i q ), d’altres com a ( p’ o (p i q) ), i fins i tot com ( p’ o q ). Per exemple, l’enunciat «Si plou, surto de casa amb capell», s’entén perfectament bé com l’afirmació «No plou, o plou i surto de casa amb capell», i també com «Plou i surto de casa amb capell», però més rarament com «No plou o surto de casa amb capell» que sembla indicar que només surto amb capell si plou. En canvi, l’enunciat «Si n és un nombre parell, aleshores n és divisible per 2», s’entén bé com l’afirmació de « n no és parell, o n és divisible per 2» (*), car a l’expressió completa

( n és parell i és divisible per 2) o ( n no és parell i és divisible per 2) o ( n no es parell i no és divisible per 2),

és obvi que el segon parèntesi no es pot afirmar i queda, per tant, reduïda a l’expressió composta pel primer i el tercer parèntesi que, fàcilment, es veu que equival a la (*).

Si simbolitzem la conjunció i pel signe. (punt), aleshores es pot simbolitzar la conjunció p de les premisses per p 1. p 2…. p ni, com ja s’ha dit, per p ≤ q l’enunciat condicional «Si p, aleshores q». Que no valgui l’enunciat «Si p, aleshores no q» (per exemple, «Si n = 12, aleshores n no és divisible per 3’) es representarà per p q’ i, per tant, simbòlicament es pot escriure

C(P) = {q; p q’},

com una representació simbòlica del conjunt de les conjectures de P = {p1, …, pn} .

Amb això es pot provar matemàticament, amb certes condicions imposades a l’operació binària., a la relació ≤ i a l’operació unària ’, que el conjunt

Cons(P) = {q; p ≤ q}

pot ésser ‘identificat’ amb el de les conseqüències febles de P , car verifica les propietats abans enunciades com a característiques de la deducció feble. Per exemple, d’acceptar com s’ha dit que p ≤ p1, p ≤ p2, …, p ≤ pn , aleshores P està contingut a Cons(P) :

P ⊆ Cons(P) ,

on el símbol ⊆ es llegeix com a «contingut a».

D’altra banda, no poden alhora valer p ≤ q i p ≤ q’ , car la segona relació, sota propietats usualment acceptades de la negació ( q” ≤ q i si p ≤ q , aleshores q’ ≤ p’ ), i de p ≤ q i q ≤ r segueix p ≤ r (llei transitiva de la relació), implica q’’ ≤ q ≤ p’ , amb la qual cosa de p ≤ q i q ≤ p’ resultaria p ≤ p’ , que és absurd per hipòtesi. Per tant, Cons(P) és coherent, automàticament és Cons(P) ⊆ C(P) i, per tant, és P ⊆ Cons(P) ⊆ C(P) . Les conseqüències febles són un tipus particular de conjectures.

Finalment, P ⊆ Q ⇒ Cons(P) ⊆ Cons(Q), és a dir, C és un operador monotònic. En efecte, com que si és P = {p 1, …, p n} és Q = {p 1, …, p n, p n+1, p n+2, …, p m}, resulta

q = p1 … pn · pn+1 … pm ≤ p1 … pn = p ,

amb la qual cosa, si r és a Cons(P) , és a dir, p ≤ r , també hi és q ≤ r . Per tant, el conjunt Cons(P) està contingut tot ell en el conjunt Cons(Q) .

Naturalment, que l’operador Cons verifiqui les propietats característiques de la deducció feble, només ens diu que Cons retrata «una manera» de fer deduccions febles, però no diu que sigui l’únic operador que ho permet. De fet, n’hi ha d’altres i només en el cas de fer servir enunciats precisos, l’operador Cons és el més gran possible.

Vegem, per acabar aquest breu apartat, que l’operador C és anti-monotònic; és a dir que si P ⊆ Q , és C(Q) ⊆ C(P) . Suposem que r és a C(Q) , és a dir, que és q r’ ; si r no fos també a C(P) , seria p ≤ r’ i, com que és q ≤ p , resultaria q ≤ r’ , que és absurd. Per tant, r és a C(P) i el conjunt C(Q) és una part del conjunt C(P) . Quan augmenten les informacions consistents, les conjectures no augmenten; fins i tot, poden disminuir.