Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Definición 1.2:SeaU una relación binaria. 1Z ordena bien a X si conecta a X y

Definición 1.3: Un orden es una una relación binaria que no posea la Propiedad simétrica y tenga al menos la Propiedad transitiva. Si además goza de las Propiedades reflexiva y antisimétrica, se dirá que es una relación de orden. (Véase Sección 4º del capítulo precedente).

La formulación empleada es x y que representa (x, y) G TZ. En esta nueva notación, se expresa diciendo que “ x está -relacionado con y “ o que “x precede a y “. Obsérvese además que si una relación binaria posee la Propiedad reflexiva, la asimétricaqueda sustituida por la Propiedad antisimétrica.

Teorema 1.4:Si ordena bien a X, entonces es transitiva y asimétrica.

Demostración :

Consideremos u,v X, con ( u,v),(v,u ) . Por definición de par ordenado (Definición 3.7del Capítulo 1),

Ahora bien, debido a que u,v {u v}, resulta que {u v} X. Por consiguiente {u v} X tiene un -primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v , es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) o (v,u) . Luego posee la Propiedad asimétrica.

Si no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) , ( v, w ) (w, u) , puesto que conecta a X. Entonces el subconjunto {u} {v} {w} X no tendría -primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.

Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u X , v Y con u v se tenga que u £7.

En otras palabras, diremos que, si un orden ordena bien a un conjunto X , un subconjunto Y de X será una -sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.

Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.

Demostración :

Obsérvese que los elementos de y o de y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ y o de x ~ y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, y y y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5para que sean - secciones.