Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Consideremos

y componemos con f

de donde

Luego g es inyectiva en virtud de la Definición 5.2.

Dado un x existe un y = g(x) que verifica

Luego f es suprayectiva.

Teorema 5.9: .

Demostración :

Consideremos x def f , entonces

pero como

Si x def f,

entonces

y en virtud del Teorema 2.5 f(x) es conjunto. Esto hace que f(x) .

Para terminar enunciamos, sin demostrarlas, unas relaciones que poseen las aplicaciones, y que proponemos al lector como ejercicios :

Proposición 5.10: Sean A, B, A', B' conjuntos y f una aplicación,

Tomemos a continuación f.X >Y, entonces :

Terminemos esta sección introduciendo el concepto de biyección :

Definición 5.11:Una aplicación que sea a la vez inyectiva y suprayectiva se dice que es una aplicación biyectiva o es una biyección.

1.6 Producto cart esiano y leyes de composición

Para desarrollar los conceptos enunciados necesitamos un sexto axioma :

VI Axioma de amalgamación

Si x es conjunto, también lo es x.

Definición 6.1: Sean x e y dos clases. Se llama producto cartesiano de x e y a la clase de pares ordenados dada por

Teorema6.2: Si u e y son conjuntos, también lo es {u} × y.

Demostración :

Construyamos una aplicación f: Y → {u} × y , cuya gráfica es

Entonces def f = y e Im f = {u} × y. Y por el Axioma de sustitución, {u} × y es conjunto.

Teorema6.3: Si X e Y son conjuntos, X × Y es conjunto.

Demostración :

Definamos la aplicación

Debido al Axioma de sustitución, Im f es conjunto. Finalmente el Axioma de amalgamaciónconduce a que Im f es también conjunto, de donde

y por tanto X × Y es conjunto

Corolario6.4: Si A es una aplicación y def A un es conjunto, A (entendiendo como relación binaria, y por tanto una clase) es un conjunto.

Demostración :

Puesto que Im A también es conjunto, def A × Im A es un conjunto. Esto hace que

Y el Teorema2.1 permite asegurar que A es un conjunto.

Definición 6.5:

Proposición 6.6:

1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.

2º Dado A un conjunto, representaremos por 2 Ael conjunto {0,1} AEntonces existe una aplicación biyectiva entre .