Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Por otra parte, según vimos en el Teorema2.7, es un conjunto. Finalmente recurrimos al Teorema2.1, que conduce a que {x} es un conjunto.

3 ºSi x no es un conjunto es falso x U y que z = x , ya que por el Axioma de clasificación z es conjunto. Entonces es verdadera la implicación x => z = x para todo z .

Proposición 3.3: Si x es un conjunto, entonces {x} = x y {x} = x ; si x no es un conjunto {x} = y {x} = .

Demostración :

Si x es un conjunto, por el Teorema 3.2,1º, sólo tiene un elemento y = x, que es subconjunto de x. Entonces {x} = x y {x} = x ; .Potra parte, si x no es un conjunto, el Teorema3.2,3 ºnos asegura que {x} . En virtud del Teorema2.4,

Introduciremos a continuación un cuarto axioma :

IV Axioma de unión

Si x e y son conjuntos, entonces también lo es x y.

Definición 3.4: {xy} = {x} {y}. Esta clase se dice que es un par no ordenado.

Teorema 3.5:

1º Si x e y son conjuntos, {xy} es conjunto, y dado z {xy} si y sólo si z = x o z = y .

2ºSi x ó y no son conjuntos, {xy} = .

Demostración :

1 ºEn virtud del Teorema3.2, {a;}, {y} son conjuntos; y por el Axioma de unión, {xy} es conjunto.

2 ºSi uno de x ó y no es un conjunto, por ejemplo x {x} = , . En consecuencia,

Con idénticos razonamientos se prueba los siguientes resultados :

Teorema 3.6:

1ºSix e y son conjuntos, entonces {xy} = x y, {xy} = x y.

2º Si x ó y no son conjuntos, entonces {x} = , {xy} =

Definición 3.7: Consideremos x, y clases. Se llama par ordenado (x,y) de x e y a la clase

Como propiedad inmediata que poseen los pares ordenados tenemos

Proposición 3.8: Un par ordenado (x ,y) es conjunto si y sólo si x e y son conjuntos; si (x,y) no es un conjunto, entonces (x,y) = .

Proposición 3.9:Si x e y son conjuntos, entonces

En el caso de que lóyno sean conjuntos, (x,y) = , (x,y)= , (x,y) = , y (x,y) = . Obviamos las demostraciones de todas estas propiedades, por ser inmediatas a partir de sus respectivas definiciones.