Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

En virtud del Teorema 1.15,

Veamos la inclusión contraria: , se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U , por la Definición 1.12, 1 a, x . Esto hace que . Finalmente apliquemos la Propiedad .

Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.

Demostración :

Si , existe un . Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad . Resulta del Teorema2.1 que x es un conjunto.

Definición 2.6:Sea x una clase, llamaremos a la clase formada por los subcon5juntos de x , es decir,

Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.

Demostración :

Tomemos z . Por definición de , z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema2.1 nos conduce a que es conjunto.

Cuando xes un conjunto, el conjunto se le suele llamar el conjunto partes de x.

Teorema 2.8:

Demostración :

Tomemos un elemento , que será, por tanto, un conjunto. En consecuencia z G U. Por otra parte, cada elemento x de U es un conjunto y el Teorema1.15 nos asegura que x C U. Por la Definición 2.6, se concluye que x

1.3 Singuletes y pares ordenados

Estudiemos ahora un tipo especial de clases formadas a partir de un solo elemento, entendiendo en este caso por “elemento” una clase o un conjunto. Estas nuevas clases jugarán un papel preponderante en la definición de par ordenado.

Definición 3.1: {x} = {z : x z = }La clase {x} es llamada singulete de la clase x.

Teorema 3.2:

1º Si x es un conjunto, entonces, para cada y, y º {x} si y sólo si y = x.

2º Si x es un conjunto, entonces {x} es un conjunto.

3 º{x} = si y sólo si x no es un conjunto.

Demostración :

1 ºTomemos y {x}. Al ser x un conjunto es verdadero x G U. Por el Axiomade clasificación, y = x.

2 ºAl ser x un conjunto, y {x} es un conjunto contenido en x, y x (pues al ser x = y podemos aplicar la Propiedad de la Sección ). Por la Definición 2.6, y , es decir que {x} ), en virtud de la Definición 1.14.