Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

En algunos tratados de álgebra se hace distinción entre aplicación y función. Hemos preferido no incorporarla en este libro, puesto que en todo este contexto no precisamos emplearla.

Definición 5.1: Una relación binaria f se dice función o aplicación si dados (x, y), (x, z) f se cumple y = z .

Definición 5.2: Se llama dominio de una aplicación f a

Rango o imagen de f se define como

Una aplicación f se dice que es inyectiva si la relación binaria inversa f-1 es aplicación, es decir,

De las Definiciones 4.2 y 5.1se desprende trivialmente que

Proposición 5.3: Sean f, g funciones. Entonces f o g es función.

Notación 5.4: En lo sucesivo representaremos (x, y) f por

que es el modo habitual de representar las funciones. Además, si X es un conjunto, se define el “ conjunto imagen de X por la aplicación f” como

La notación inicial, como pares ordenados, se llamará gráfica de la aplicación , y será representada por el símbolo si la aplicación en cuestión es /.

También se define

Los elementos de f-1(Y) son llamados “ antiimágenes de Y por la aplicación f” mientras que los elementos de f(X) se conocen con el nombre de “imágenes de X por f”.

Proposición 5.5: Sean f y g dos funciones. Entonces f = g si y sólo si f(x) = g(x) , ∀ x .

Demostración :

Llamemos y = f(x) = g(x). Debido a

f = g en virtud del Axioma de extensión.

Vamos a introducir el quinto axioma :

V Axioma de sustitución

Si f es una función y su dominio def f es conjunto, entonces Imf es conjunto.

Proposición 5.6: Sean A, B dos aplicaciones. Entonces

Demostración :

Tomemos un z Im(AoB). Existe un x de manera que AoB(x) = z. Llamemos y = B(x) y por tanto z = A(y). Entonces y Im B, y def A, es decir,

En consecuencia,

La inclusión contraria prueba invirtiendo el proceso de la demostración.

Probemos la última expresión. Elijamos un x def(A o B) y llamemos y = B(x). Entonces y Im B con y def A , es decir,

y por tanto,

Veamos la inclusión contraria. Tomemos x B-1(def A Im B). Esto hace que B(x) def A Im B , de donde B(x) def A , y por tanto x def (A o B).

Definición 5.7:Una aplicación f que tome valores en X y sus imágenes estén en Y se escribe f : X → Y.

Una aplicación Ix : X → Xse dice que es la aplicación identidad sobre X

si

Una aplicación f : X → Yse dice que es suprayectiva, si para cada y Y, existe un x X tal que

En virtud de la Proposición 5.5, la aplicación identidad es única.

Proposición 5.8:Consideremos f, g dos aplicaciones tales que

Entonces g es inyectiva y f suprayectiva. Demostración :