Joaquín Olivert Pellicer - Estructuras de álgebra multilineal

Demostración :

1 ºTomemos f , luego f C x × y es conjunto. Esto hace que , es decir que

Pero el Teorema2.7 asegura que es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.

2 ºSea B un subconjunto arbitrario de A (B A). Por función característica de B se entiende una aplicación B: A →{0,1} definida por

Con esta clase de funciones, definimos la aplicación

Veamos que es biyectiva :

Estudiemos en primer lugar la inyectividad de Supo

Esto hace que si b B se tiene que c (b)= B (b)= 1, de donde b C.

Esto prueba que B C.

La inclusión contraria se prueba de la misma manera.

Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A → {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente

En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por o por 2X.

Proposición 6.7:

Demostración :

Simple aplicación del Axioma de extensióny de las definiciones implicadas.

En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones , si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :

Definición 6.8:Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación

Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b ) = a • b , o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b , o f(a,b) = a + b.

Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :

Definición 6.9:Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e C si

Si sólo se verifica

se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que

será el elemento neutro por la izquierda.

Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si

Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a C posee elemento simétrico a' si

En el caso de que se verifique sólo

se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.

Definición 6.12:Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si

Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica