Артър Кларк - Призракът от големите плитчини

— Преди Ейда да започне — обади се Едит, — бих искала да ви обясня нещо. М-множеството е най-сложното множество в математиката, но създаването му не включва нищо по-трудно от събиране и умножение; дори няма изваждане и деление! Ето защо много хора, които разбират от математика, трудно го приемат. Те просто не могат да повярват, че нещо толкова невероятно може да се получи без използването на логаритми, тригонометрични функции или елементи от висшата математика.

— И на мен ми се струва невъзможно. И все пак, ако е толкова просто, защо не са го открили преди няколко века?

— Много разумен въпрос. Защото се извършват толкова действия на събиране и умножение на огромни числа, че е трябвало човечеството да чака появата на мощни компютри. Представете си, ако бяха раздали сметала на Адам и Ева и на всичките им потомци до ден-днешен, те не биха могли да получат някои от образите, които Ейда ще ви покаже само с натискането на няколко клавиша. Хайде, миличка…

Холопрожекторът беше ловко скрит някъде, Брадли така и не разбра къде. Виж колко лесно е да се направи този замък обитаем от духове, помисли си той, така ще могат да прогонват досадниците.

Двете пресичащи се линии на обикновената х-у координатна система застинаха във въздуха с точките 0, 1, 2, 3, 4… изобразени в три измерения.

Ейда хвърли към Брадли един от онези объркващо прями погледи, които сякаш преценяваха коефициента му на интелигентност.

— Всяка точка от тази равнина — започна тя — може да бъде определена от две числа, x и y координатите. Нали така?

— Да — отвърна тържествено Брадли.

— М-множеството лежи в една много малка област; то не се простира отвъд плюс или минус 2 в двете посоки, така че можем да пренебрегнем по-големите стойности. Сега да вземем всяка точка от тази координатна система и да я съединим с центъра. Измерваме дължината на този радиус, да го наречем r…

Това, помисли отново Брадли, не представлява особено предизвикателство за умствените ми способности. Кога ли наистина ще стигнем до същността на фокуса?

— …очевидно е, че в нашия случай r може да приема всички стойности от 0 до малко под 3 — около 2,8, за да бъдем съвсем точни. Нали?

— Да.

— Добре. Сега: упражнение № 1. Да вземем стойността на което и да е r и да я повдигнем на квадрат. Продължаваме да я вдигаме на квадрат… Какво получаваме?

— Да не ти развалям удоволствието, Ейда.

— Ако приемем, че r=1, то стойността не се променя, независимо колко пъти го повдигаме на квадрат. Едно по едно, по едно, по едно е винаги равно на едно.

— Така.

— Ако стойността е дори малко по-голяма от единица, продължим ли да я степенуваме, рано или късно тя ще стигне до безкрайност. Това е вярно, даже когато r е равно на 1,000…00001 и има милион нули вдясно от десетичната точка. Е, ще ни отнеме малко повече време, но резултатът е все същият. Но ако числото е по-малко от 1, да речем 0,9999… и така един милион деветки, получаваме точно обратното. Колкото повече го вдигаме на квадрат, толкова повече то намалява и клони към 0. Нали така?

Брадли кимна мълчаливо с глава. Все още не можеше да схване смисъла на всички тези елементарни действия; несъмнено това трябваше да доведе до някъде.

— Лейди, престани да тормозиш господин Брадли! Накратко казано, вдигаме на квадрат числата, още веднъж и още веднъж, и така нататък, и това ги разделя на две ясно обособени множества.

Върху двете пресечени оси се бе появил кръг с център пресечната им точка.

— В този кръг се намират всички числа, които клонят към нула, когато ги повдигаме на квадрат. Извън него са онези стойности, които се доближават до безкрайност. Може да се каже, че кръгът с радиус 1 е граница, разделяща двете множества числа. Да наречем първото К-множество.

— „К“ като квадрат.

— Разбира… да. И тук идва същественият момент. Числата от двете страни са отчетливо разделени и макар през границата да не минава нито едно от тях, тя е лишена от плътност. Това е просто една крива. Можем да я увеличаваме колкото си искаме, тя ще си остане крива, която скоро ще заприлича на права линия.

— Дотук нищо вълнуващо — обади се Доналд, — Но това е много съществено… скоро ще разберете защо. Извинявай, Ейда.

— Сега. За да получим М-множеството, извършваме една съвсем мъничка промяна: вече не само повдигаме на квадрат числата, но ги и събираме, повдигаме на квадрат и събираме. Не си представяхте, че така ще се промени всичко, нали? Навлизаме в нова вселена. Да предположим, че започнем отново с 1. Вдигаме на квадрат и получаваме отново единица. Добавяме единица и получаваме 2. Две на квадрат е 4. Добавяме първоначалната единица и получаваме 5. Пет на квадрат е 25. Прибавяме едно и получаваме 26. 26 на квадрат е вече 676. Нали виждате какво става! Числата растат с фантастична скорост. Като ги завъртим още няколко пъти, няма да може да се борави с тях. А всичко започна от 1! Ето това е първата огромна разлика между М-множеството и К-множеството, чиято граница е 1. Досещате се навярно какво става, ако започнем с много по-малки числа, да речем с 0,1…