Gonzalo Masjuán - Trigonometría y geometría analítica

Fig. 3.1

Fig. 3.2

Fig. 3.3

Fig. 3.4

Fig. 3.5

Fig. 3.6

Comenzaremos recordando que si f es una función de A en B , entonces es una relación de A en B y por tal motivo tendrá relación inversa de B en A . A continuación presentaremos el conocido resultado que entrega la condición necesaria y suficiente para que la función f de A en B no sólo tenga relación inversa de B en A sino que función inversa de B en A , o sea, que f −1 : B → A será función (conocida como función inversa de f y simbolizada por f −1 ).

Teorema 3.2.1 Sea f : A → B función, entonces:

Problema 3.2.1 Sea la función definida por:

Demostrar que ella es biyectiva y encontrar la respectiva función inversa f −1 .

Primero estableceremos que f es uno a uno. Pues bien, sean y tales que f ( x 1) = f ( x 2) o sea:

de donde:

o sea:

luego, f es inyectiva.

Ahora demostraremos que f es epiyectiva. Para ello sea así vemos que existe tal que f ( x ) = y debido a que:

de donde:

y, por lo tanto:

y, como: resulta:

o sea:

luego f es sobre.

Tenemos que f es biyectiva y de aquí su función inversa es:

Tomando en consideración el resultado presentado en el teorema [ 3.2.1] (y restringiendo los dominios de las respectivas funciones trigonométricas o circulares) conseguiremos como aplicaciones a nuestro estudio los teoremas que presentaremos a continuación.

Teorema 3.2.2 La función cos : [0, π ] → [−1, 1] es biyectiva, entonces su función inversa es:

Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.7.

Fig. 3.7

Teorema 3.2.3 La función sen : es biyectiva, entonces su función inversa es Arcsen =

Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.8.

Fig. 3.8

Teorema 3.2.4 La función es biyectiva, entonces su función inversa es