Gonzalo Masjuán - Trigonometría y geometría analítica

30.Demostrar que:

31.Demostrar que:

32.Demostrar que:

33.Demostrar que:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

34.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:

se obtiene:

35.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:

se obtiene:

36.Demostrar que al eliminar α y β entre las ecuaciones:

se obtiene:

37.Demostrar que:

siendo (lo que representa una suma de ondas de igual frecuencia en Física).

(2)

(5)

(6)

(7)

(8)

(11)130,2 m. ó 43 m.

Capítulo 3

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

El concepto de relación inversa de una función circulary, con posterioridad, el de función inversa de una función circular, es importante, ya que al considerar la función y = cos x podemos referirnos a y , el coseno de x , pero también es posible que el énfasis esté puesto en el número x , o sea, a aquel x cuyo coseno es y . Esto se presenta muy a menudo, razón por la que para señalar que x es un número cuyo coseno es y , esto es, la relación inversa de y = cos x se utiliza la notación especial:

Este simbolismo fue introducido, según se dice, por los matemáticos Daniel Bernouilli y Leonhard Euler en el año 1730.

x = arccos y es el conjunto de aquellos x tales que y = cos x . Por lo tanto, un x determinado está en dicho conjunto; esto es lo que entendemos por la igualdad x = arccos y , no es una igualdad en el sentido lógico de igualdad.

En otras palabras tenemos la equivalencia siguiente:

En particular, si colocamos nos resulta:

Esta consideración anterior nos hace ver que si bien y = cos x es una función, la expresión x = arccosy define sólo a una relación; más precisamente, una relación en que a un apropiado valor de y , le corresponden infinitos valores de la variable x .

Por analogía, las restantes relaciones circulares inversas se deducen en forma similar y se simbolizan, respectivamente, mediante:

En el párrafo [ 6.3] del capítulo anterior presentamos los gráficos de las funciones circulares y = cos x , y = sen x , etc. Nos detendremos, en particular, en el gráfico de y = cos x ya que los demás se deducen por analogía. El gráfico de y = cos x son los puntos ( x, y ) = ( x, cos x ) = (arccos y, y ); por lo tanto, el gráfico es el mismo. Ahora bien, si efectuamos la transformación en el plano dada por ( x, y ) ←→ ( y, x ), el gráfico ( x, y ) = (arccos y, y ) obtendremos el gráfico de y = arccos x . La transformación anterior es una simetría con respecto a la diagonal de ecuación y = x . Dicha simetría también se consigue si el gráfico de y = cos x (éste aparece en la figura 6.13); si teniendo el gráfico de y = cos x en papel transparente con el eje vertical y el eje horizontal damos vuelta el papel y lo rotamos 90 ◦en el sentido horario, el resultado es el gráfico de y = arccos x que aparece en la figura 7.1. Los gráficos de y = arcsen x , y = arctg x , y = arccot x , y = arcsec x e y = arccosec x , se obtienen en forma similar y se ilustran en las figuras 3.2, 3.3, 3.4, 3.5y 3.6, respectivamente.