Gonzalo Masjuán - Trigonometría y geometría analítica

Fig. 2.8

(2)Cuando una función es impar su gráfico es simétrico con respecto al origen, ya que si ( x, y ) está en el gráfico también deberá estar el punto (− x, − y ), situación que se observa en la figura 2.8y si 0 ∈ dom f obviamente f (0) = 0.

Definición 2.2.2 Dada la función real (no constante) f diremos que ella es función periódica si existe número real positivo r tal que para todo x ∈ R se cumple que:

Al menor de tales r positivos para los que se cumple la propiedad señalada le llamaremos el período p de la función f, o sea:

De la definición se deduce que si f ( x + r ) = f ( x ) también se tendrá:

como a la vez:

Ejemplo 2.2.3 Pensemos en la función real definida por:

donde existe z ∈ Z de modo que x ∈ [2 z −1 , 2 z + 1[ . Haremos ver que f tiene período 2 .

En efecto, vemos que si ℓ ∈ Z y para x tal que:

se tiene:

Además, de 2 ℓ − 1 ≤ x ≤ 2 ℓ + 1 se consigue:

o mejor:

y, de ello, se desprende que:

o sea que el período podría ser r = 4.

Si nuevamente pensamos en x tal que:

o mejor:

y, con ello:

y de esto vemos que el período podría ser r = 2.

Haremos ver que el período es exactamente 2.

En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f (0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:

(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f (0 + p ) = p ≠ 0 = f (0) ,

(2)1 < p < 2 ⇒ f (0 + p ) = | p − 2| ≠ 0 = f (0) .

Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9el gráfico de esta función periódica de período p = 2.

Fig. 2.9

La periodicidad de una función (y similarmente con la paridad y la imparidad) permite estudiarla en un intervalo más restringido, pudiendo luego extender los resultados obtenidos a todo el dominio de la función. Esto haremos precisamente en el ejemplo que presentaremos a continuación.

Ejemplo 2.2.4 Dada la función real:

Se pide construir con ella el gráfico de g pero ahora con dominio R sabiendo que además de ser impar posee período 18 .

El gráfico de la función dada al comienzo del enunciado lo vemos en la figura 2.10.

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Ahora, como debe ser impar procedemos a efectuar simetría en torno del origen al gráfico de la figura 6.10 resultando el dibujo de la figura 2.11y observando esta última figura vemos que el gráfico tiene dominio [−9 , 9] que justamente posee longitud 18, o sea, el período pedido. Por lo tanto, procedemos a iterar este gráfico obteniéndose la figura 2.12.

Fig. 2.12

Teorema 2.2.1 Para las funciones circulares se tiene que:

(1) y = cos x es par y periódica de período 2 π.

(2) y = sen x es impar y periódica de período 2 π.

(3) y = tg x es impar y periódica de período π.

(4) y = cot x es impar y periódica de período π.

(5) y = sec x es par y periódica de período 2 π.

(6) y = cosec x es impar y periódica de período 2 π.

Tomando en cuenta los conceptos presentados en el párrafo anterior podemos dejar a cargo del lector el proceder a trazar los gráficos aproximados de las funciones circulares. Conseguirá los esbozos que presentaremos a continuación.

(1) Gráfico de y = cos x