Gonzalo Masjuán - Trigonometría y geometría analítica

Fig. 2.3

Definición 2.1.1 Tomando en cuenta la figura 2.3 , donde aparece dibujado ≮ AOP = α, se llama:

(1) coseno del ángulo α al número cos α = abscisa de P = x ,

(2) seno del ángulo α al número sen α = ordenada de P = y ,

(3) tangente del ángulo α al número

(4) cotangente del ángulo α al número

(5) secante del ángulo α al número

(6) cosecante del ángulo α al número

(1)Reiteramos que cada punto P de la circunferencia trigonométrica tiene por coordenadas (cos α, sen α ), esto es, existe la correspondencia biunívoca expresada mediante P ←→ (cos α, sen α ).

Sin embargo no hay relación biunívoca entre P y α . En efecto, muchos ángulos α , a saber, aquellos que difieren en vueltas enteras (positivas o negativas) determinan el mismo punto P de la circunferencia y el mismo rayo .

(2)Al observar la figura 2.4, donde aparece otra circunferencia centrada en el origen O , con radio r ≠ 1, las coordenadas del punto P′ determinado en ella por el rayo son:

Esto es a causa de la semejanza vista en el capítulo anterior.

(3)En la figura 2.5, nuevamente tenemos la circunferencia goniométrica y en ella al punto P (cos α, sen α ) con el respectivo rayo . Se han trazado las rectas tangentes a la circunferencia en A (1 , 0) y en B (0 , 1). El rayo las intersecta, respectivamente, en R y S ; Q es la proyección de P sobre el eje . De esto se deduce que:

Fig. 2.4

Fig. 2.5

(4) Signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes

De las definiciones resulta que las funciones trigonométricas pueden tener signo positivo o negativo, según sea el cuadrante ( I, II, III o IV ) donde está el punto P (cos α, sen α ) ≡ P ( α ). La figura 2.6se explica por sí sola.

Fig. 2.6

(5)Mirando las definiciones de las funciones goniométricas o circulares se deduce que:

Teorema 2.1.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:

Comenzaremos este párrafo recordando los conceptos de paridad y periodicidad de las funciones reales.

Definición 2.2.1 Dada la función real f diremos que:

(1) f es función par ssi ∀ x ∈ dom f ( f (− x ) = f ( x )) ,

(2) f es función impar ssi ∀ x ∈ dom f ( f (− x ) = − f ( x )) .

Ejemplo 2.2.1 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función puesto que:

Ejemplo 2.2.2 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función es impar ya que:

Desde el punto de vista gráfico tenemos que:

(1)Cuando una función es par su gráfico es simétrico con respecto al eje de ordenadas, ya que si ( x, y ) está en el gráfico también deberá estar el punto (− x, y ), situación que se observa en la figura 2.7.

Fig. 2.7