Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

Resolución:

Respuesta:La impedancia es (2 + 5i) ohms.

3. En la igualdad: z(–5 + 4i) = 4 – 4i, ¿cuál es el valor de z?

Actividades

1. Resuelve las siguientes divisiones.

a)(3 – 2i) : (5 + 3i)

b)9i : (4 – i)

c)(1 + i) : (–1 – i)

d)(5 + 2i) : (7 + i)

e)(12 – 2i) : 5i

f)(2 – i) : 8i

g)(4 – 2i) : (1 + 5i)

h)(4 + 2i) : (1 – i)

i)(5 – 5i) : (1 – i)

2. Determina si cada igualdad es verdadera o falsa. Para ello, considera z 1= 3 + 2i, z 2= 2 – i.

3. Determina el valor de z según corresponda.

a)z(1 + i) = (3 + i)

b)(2 + 2i)z = 5i

c)9 = z(7 + 2i)

d)(1 – 2i)z = (3 + 2i)

e)7zi = (8 – i)

f)i = (6 + 8i)z

g)z(3 – i) = (1 + i)

h)(4 – i) = (3 + 5i)z

i)(3 + i)z = (6 + 3i)(–1 + i)

4. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, considera z 1= 4 + 2i, z 2= –1 – i, z 3= 2 – i,

5. En el plano de Argand se han representado los números complejos z 1, z 2, z 3y z 4. Considerando lo anterior, resuelve.

4.8 Potencias de números complejos

Si z y n , la potencia z nse define como la multiplicación de zpor sí mismo nveces.

Para exponentes negativos se tiene que z –n= . Si n = 0, se define z 0= 1, para todo z ≠ 0.

Se puede calcular la potencia de un número complejo utilizando las expresiones del cuadrado y del cubo de binomio y luego remplazar los valores de las potencias de icuando corresponda.

Para calcular potencias de mayor grado, se pueden combinar las propiedades de las potencias con cuadrados y cubos de un binomio.

Actividad resuelta

Calcula el valor de la potencia de cada número complejo.

Actividades

1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

4.9 Raíces cuadradas de números complejos

Se define la raíz cuadradade un número complejo zcomo un número complejo w, tal que w 2= z, es decir, .

Para determinar las raíces cuadradas de un número complejoz = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy) 2, con xe ynúmeros reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que xo yno fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.

Actividades resueltas

1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.

Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w 2= z. Es decir:

2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?

Se resuelve la ecuación (x + iy) 2= 2i, luego se tiene:

Actividades

1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.

a)z 1= 4i

b)z 2= 3 – 4i

c)z 3= 15 + 8i

4.10 Números complejos en forma polar

Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:

Actividades resueltas

1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.

Para profundizarel estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría(pág. 326).

2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z 2representado en el plano de Argand?

Actividades

1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar