Varios autores - Manual de preparación PSU Matemática

a)Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

b)Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?

c)Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de ay b?

6. Demuestra las siguientes igualdades.

4.6 Multiplicación en

La multiplicaciónentre dos números complejos z = a + bi, w = c + di se define por:

z • w = (a + bi) • (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Propiedades de la multiplicación en

En se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Clausura: si z, w , entonces z • w .

Conmutativa: si z, w , entonces z • w = w • z.

Neutro multiplicativo: z • 1 = 1 • z, = z ∀ z .

Inverso multiplicativo: si z = a + bi ≠ 0, existe i tal que z • z –1= 1 = 1 + 0i.

Asociativa: si z, w, u , entonces (z • w) • u = z • (w • u).

La propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición o de la sustracción.

∀ z, w, u , entonces z • (w ± u) = z • w ± z • u.

Al relacionar la multiplicación con el conjugado de un número complejo, se tiene que:

• Si z = a + bi, entonces = |z| 2, ya que = (a + bi) • (a – bi)

• Si z = a + bi y w = c + di, entonces

Actividad resuelta

Si z 1= –3 – 5i, z 2= 2 + 3i, verifica que se cumple la propiedad conmutativa.

Actividades

1. Si z 1= 3 – 5i, z 2= 4 – 2i, z 3= 3 + 5i, z 4= –6 – 8i calcula:

2. Demuestra las siguientes propiedades. Considera z 1, z 2 .

3. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:

4. Calcula cada producto y luego represéntalo en el plano de Argand.

5. Calcula el inverso multiplicativo de los siguientes números complejos.

4.7 División en

Para resolver una divisiónentre z 1= a + bi, z 2= c + di es posible amplificar por el conjugado del denominador y determinar el resultado:

De manera equivalente:

Actividades resueltas

1. Si z 1= –2 + 3i, z 2= 1 + 2i, calcula z 1: z 2.

2. La impedancia es un fenómeno físico que se describe por medio de oscilaciones y es de gran importancia en ingeniería electrónica. La impedancia Z (en ohms) afecta la corriente en un circuito y se determina mediante la fórmula: . Determina la impedancia cuando V = 1,5 – 0,6i e I = –0,3i.